(3).训练题(三)解答.doc

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1、训练题（三）解答（陶平生供题）一、求所有函数∶，使得满足：、，均有；、，；、．解：据得，……易为，则成为……由此，…，由、知，…故给出；所以由，；再由，；在中令，得；在中令，得…………归纳得，对于每个正整数，均有当为负整数，则为正整数，在中易为，为，则，所以因此对于一切整数，都有……，设，，又由，所以，于是．5二、给定凸多边形，若对于它的任一顶点，总有周界上的某点，使得线段平分多边形的面积，且的长度不超过．证明：多边形的面积小于．证：称上述线段为多边形的一条等分线，规定多边形方向，沿顺时针方向为“向右”，沿反时针方向为“向左”，今作出多边形的所

2、有等分线，据等分线的意义知，它们必两两相交于多边形内；从等分线的端点沿多边形周界向左前进，如果等分线的一端点是左边最近的等分线端点，则必是左边最近的等分线端点；（否则，如果之间还有另一等分线端点，为等分线，则与都相交，故点在左侧，而在右侧，即在之间，这与是左边最近的等分线端点的假设矛盾！）由于下方的区域面积下方的区域面积（为多边形面积），所以，称所夹区域为一个“角形域”，记的夹角为，则．（此处用到，，故，则与必一正一负，其乘积）；由，得到；由等分线端点再向左移到端点，等分线端点再向左移到端点，…，直至最后移到端点，我们依次得到由相邻等分线组成的

3、角形，它们的面积之和小于相应的夹角之和，即为，（夹角和为的事实，只须注意，如把它们都平移到同一点便知）最后还要说明，这些角形域覆盖了多边形中的任一点；为此设是形内任一点，设它在射线左侧，即在右侧，当由等分线端点左移至的过程中，射线必有一次越过点，因此点必在某两条相邻等分线之间，即在某个角形内．于是多边形的面积不大于诸角形的面积之和，即5．三、设集合{互质，}，求和：．解：一般化，将换成任一不小于的整数为此取互质，，并记，分析的变化趋势，易知，，进而猜想，对于每个都有.转而考虑证明，对每个都有.其中，.先分解求和区间（和式展布集）：互质，,互质，

4、.于是（右端最后一个和式的求和范围是由于则）.由于当时，，则5.且由以及知，不会被取到.从而式右端可合并为.据,即有.于是，因此.四、对于给定的正整数，试求所有正整数，使满足等式：…①解：若，则由得；若，则有分解式：，诸为互异质数，，设满足方程①，由，则可表为：先证明，对于每个，都有；反证法，设其中有某个，则，考虑等式①中的指数，其右端的指数为，而左端的指数为，因此有，则，所以，得，因此，，于是，矛盾！从而每个；由①得，……②故对所有；由于，且不能整除，所以，从而，据此及②式知，，记，得，（为正整数，）注意到对于正整数，有（仅当时取等号，因为当

5、时，5，则）因此……③（在除了，且以外成立，但是此情况不能出现，因为已证得.）再证，设（既约分数），将等式①改写为，，即，则，，而，所以，故，所以，于是；据所设，得，若，则有，使……④，于是，据此及③，，则，与①矛盾！所以有，代入①，得．5