(4).训练题(四)解答.doc

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1、二、设，如果一条闭折线的个顶点恰好是一个正边形的顶点；证明：当为偶数时，折线中必有一对平行的线段；而当为奇数时，不可能恰有一对平行的线段．证：按顺时针方向将正边形的顶点顺次标为，则所述闭折线可用这个数的一个排列来唯一表示（一一对应），显然∥、若为偶数，因，所以完全剩余系，而所以，并非的完全剩余系，其中必有两个对同余，即有，使，故∥，、若为奇数，并且恰有一对边平行：∥，则和式，中恰有一个余数出现两次，因而也恰好少了一个余数，（因为奇数，），从而，结合得，，矛盾！这表明，当为奇数时，不可能恰有一对平行的线段．三、设是

2、平面上给定的条线段，它们的长度之和为；证明：平面上存在一条直线，使得条线段在上的射影长度之和小于．3证：取一条不与已知线段垂直的直线作为轴，将所给线段按照其斜率由小到大排成一列：，（其中负下标表示斜率为负）经过平移可以将这些线段按照上面的次序一个接一个地首尾相连形成一条凸折线，设折线的两端点为，连线的中点为，关于作中心对称，产生一个凸多边形，其周长为每一条边与一条“对边”平行，这个多边形的最小宽度，也就是各对平行线之间距离的最小值，设为，以为中心，为直径的圆一定完全在多边形内；否则，设与某边相交于，则关于的对称点

3、是与对边的交点，与的距离小于，即小于，这与为最小宽度矛盾．四、设为正整数，若能将集合分拆为两个非空子集，使得对于中的任两个不同元素，都有，而对于中的任两个不同元素，都有，试求正整数的最大值．解：首先构造一个集，使其元素尽可能多，且分拆成的子集合于条件；取，，，即这时；以下说明，的最大值就是；假若，将导致矛盾.若，则，再将剩下的数分成对：，每对数中至多一数属于，即每对数中至少有一数属于，则；今考虑的归属，有三种情况：、，，，，又由，矛盾！、若：（甲）、若，，3，，，又有，矛盾！（乙）、若，即，，，即，又有，矛盾！、

4、若，则，即，即，又有，矛盾！因此，的最大值就是．3