.训练题(一)解答.doc

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1、一、空间个点，，无四点共线，任意将其中个点染为红色，其余个点染为蓝色.证明：存在一个平面，同时平分红、蓝两色的点，使得在平面的两侧，各有个红点，个蓝点.证：先证平面上的如下命题：对于平面上无四点共线的个点，任意将其中个点染为红色，其余个点染为蓝色，则存在一条直线，同时平分红、蓝两色的点，使得在直线的两侧，各有个红点，个蓝点.首先，暂不考虑点的颜色，可作一条有向直线，使在直线两侧各有个点，（因为这个点间两两的连线只有有限条，可作一条直线与它们都不平行，则任两个已知点到的有向距离皆不相等，当平移时，直线将逐个越过这

2、些点，直至两侧各有个点）.将左侧的每一点与右侧的每一点分别连线，这些连线与有向直线正向的夹角只有有限个，其中必有最小角，设为连线达到，在连线与直线所夹的角形内不含任何给定的色点.设.如果直线上只有两个已知色点，则让直线绕点逆时针旋转角，（略大于），使其恰好越过直线到达新位置（只要适当小，可使与所夹的角形内除了外，再无其它色点）.这时，直线的左右两侧仍各有个点，若点同色，则直线两侧的红点数不变；若点异色，则直线左侧的红点数或者增加，或者减少.如果直线上三个已知色点，则必有两点在点的同侧，设为，（如图）将直线绕点逆

3、时针旋转角，（略大于），使其恰好越过直线到达新位置，然后在之间任取点，过点作∥，只要适当小，可使平行线与之间除点外，再无其它色点，而由变为9后，射线两侧的总点数未变，即两侧仍各有个点，再看射线两侧的色点数变化情况：由于点原先在左侧，现仍在左侧，因此只需考虑点.若同色，则左侧的红点数与左侧的红点数相同；若异色，则左侧的红点数与左侧的红点数相差个.综上可知，对于每种情况，我们总可通过适当旋转、平移射线，使得射线两侧的总点数始终不变，而左侧的红点数或者不变，或者增加，或者减少.假若开初射线的左侧有个红点，则的右侧有个

4、红点；当经过若干次这种操作，使得射线转过后，与的原位置重合但方向相反时，射线的左侧有个红点，而右侧有个红点，故必在其中某次操作后，使得值等于，即对于射线的这一位置，射线的两侧各有个红点，从而也各有个蓝点.因此对于平面情形结论成立.再考虑空间情况，过这个点的每一对点作直线，只有有限条，它们构成集合；过不共线的每三点作平面，只有有限个，它们构成集合.则必可作一个平面，既不与集合中的任一直线垂直，也不与集合中的任一平面垂直，现将这个点一齐投影到平面上，则在平面上所得的投影点恰为个，且这些投影点也无四点共线，（否则空间

5、的原来四点必在同一张垂直于的平面上；由于题设中，空间无四点共线，则过的平面已在集合中，这又与平面的选择矛盾）.今将投影点分别染上与原给定点相同的颜色，据前面的讨论可知，在平面上存在一条直线，同时平分红、蓝两色的点，使得在直线的两侧，各有个红点，个蓝点.过直线作平面平面，则平面即为所求.二、设凸四边形的面积为，证明：在其周界或内部总存在四个点，使得以其中任意三点为顶点的四个三角形的面积均不小于．并且这个值是最佳的，即不能将其改进为更大的数．讲解：用表示相应的三角形面积，表示点到直线的距离；由于涉及四边形及三角形的

6、面积，故需注意以下性质：⑴、嵌入平行四边形的任何三角形面积不大于该平行四边形面积的一半；⑵、嵌入三角形的任何平行的四边形面积不大于该三角形面积的一半；⑶、三角形的重心与三角形任一对顶点所组成的三角形三等分三角形面积．若为平行四边形，因，则四点为所求；9若四点中，有某三点组成的三角形的面积（或者等价地说，有某三点组成的三角形的面积），例如设，若其重心为，则据⑶，四点组为所求；以下考虑不为平行四边形，且以其中任三点为顶点的三角形面积都满足的情况；不妨设，边与不平行，且，；如图，设，作∥，在上，记，则，（事实上，注意

7、到，则，，而与等高，其面积比等于底边长的比，即．）、若，则在线段上分别有点，使得∥,且，由，得，，，则，，据，则，；、若，如图，在上分别有点使得∥,且9，设，则，在射线上取点，使，作∥，在上，则、皆构成平行四边形，，则，，所以，，，则；所以；，四点组为所求；、若，仍借用上图，在上分别有点使得∥,且，设，在射线上取点，使∥，作∥，在上，则构成平行四边形，而，相似比为∶，则，，，所以，，所以，因此，，故得．（这里用到）．于是在梯形中，；，因此四点组为所求；再证为最佳值，作面积为的梯形，其中∥，，则9；今证明，该梯形

8、周界或内部不存在这样的四个点，使得以其中任意三点为顶点的四个三角形的面积均大于．设，则，即，所以，.设是其中的任意四点，若其中有三点共线时结论显然；今设其中无三点共线，考虑四点的凸包：、若凸包为四边形，并设四个三角形中，以的面积为最小；如图作平行四边形，则由，得；又由，得，故点含于中，因此平行四边形含于四边形中，故含于梯形中，因此含于三角形中，于是据，，故；、若凸包为三角形，点在其内部