(2).训练题(二)解答.doc

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1、一、对于实数，用表示数列：；证明：方程有两个相异实根，使得有无数多个正整数，同时出现于数列与之中．证：记，易知方程只有正根，再说明方程也无有理根；事实上，若（既约分数，）为其有理根，则，由此，，方程化为，所以，，而皆不满足方程，故的根全为无理数，据符号规则，易确定方程在内各有一根，设此三根为，则三数皆大于，于是每个数列的各项皆为互异正整数，且由根与系数关系得，，，用分别表示中不超过的数构成的集，则或，即．这是由于，若，则有：、若，则，所以，故而，所以，即；、若，则，这时，类似有，，而所以由此，4，此值随增大而趋于无穷，故左端三项中必有一项趋于无穷，因此结论

2、得证．二、若凸七边形的每个顶点皆为格点，证明：在的内部至少还含有四个格点．证：设格点凸七边形，若其周界上有异于顶点的格点，例如边内有格点，则去掉，改为考虑格点凸七边形，因此不妨假定原格点凸七边形边的内部再无格点；由于任一格点的坐标只有这四类情况，五个顶点中必有两点属同一类，这两点的连线中点必是格点，且在凸七边形内（因凸七边形周界上无异于顶点的格点）；不妨设，形内有格点是的中点；同理由凸五边形可知，凸七边形内还有另一格点．在直线的两侧，必有一侧至少含有凸七边形的三个顶点，设在同侧，则由凸五边形可知凸七边形的内部有第三个格点；假若的另一侧也含有凸七边形的三个格

3、点，则同理得凸七边形内第四个格点；设另一侧至多含两个顶点，则与在同侧或在直线上，这时又有两种情况：若不在内，则组成凸五边形；若在内，则组成凸五边形；无论何种情况，都将得到第四个位于凸七边形内的格点．（注意，若在同侧，与在同侧，则考虑五边形）．三、有一个圆形的果园，圆心在原点，半径是单位．在果园中除圆心外的每个格点处都种有一棵树（所有的树都看成是有相同半径的垂直竖立的圆柱体）．证明：如果树的半径超过单位，那么从原点向任意方向看，视线都会被树干遮断，使人看不到果园的边界；但是，如果树的半径小于，就有一个适当的方向可以看到果园外面的情景．证：先证前一部分，用表示

4、树的半径，即，同时还应认为4（否则，相邻的格点上长出的树便会彼此挤压）这时，我们来证明，任一方向的视线都会被树干遮断．也即要证，对于任一条半径，必有一个以果园内异于原点的格点为圆心，为半径的圆与之相交．为此，考虑直径，过分别作的切线及，并在上取，在取，使，连，这样得到一个矩形．这个矩形是关于原点对称的凸多边形，并且其面积．故由明科夫斯基定理，在此矩形内有异于原点的一个整点，由对称性，也含有与对称的另一个整点．假若在这二个格点处种上了树，由于半径大于，那么一棵树将遮断视线，另一棵树将遮断视线．由于矩形有一部分伸展到果园外面，而果园外没有种树，因而果园外面的格

5、点处并没有树遮断视线．为此，我们还需继续证明，点必在果园内．事实上假若整点落在矩形位于果园外面的部分，则一方面，由在果园外，则，也就是，另一方面，因在矩形内，所以．于是，总之有即不是整数，矛盾.因此整点必在果园内，同理得也在果园内，以为圆心为半径的二个圆将分别和相交，即遮断了这一视线，而由所设的任意性知，任一方向的视线都将被遮断．再证第二部分，取果园外的一点及其对称点，则三点所在的直线方程为，由于与互质，故线段上除端点与外没有其它的整点；对于线段也是如此，即线段上没有种树，又自果园内的任一整点到所在直线的距离是：……①因为除原点外，在果园内不再有任何整点落

6、在直线段上，故当在果园内，且异于原点时，，而是整数，所以4……②从而由①②，，因此以为圆心，小于的为半径作圆，必与线段没有交点，故所以这些点上种的树都不能遮断视线，也不能遮断视线．因此果园外的景物及，都可以在点看到．同时也证明了从果园外一点视线可穿过果园的直径看到果园另一侧的．4