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1、一元二次不等式及其解法（二）[学习目标] 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．知识点一 分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式＞0(＜0)法Ⅰ：或法Ⅱ：f(x)·g(x)＞0(＜0)≥0(≤0)法Ⅰ：或法Ⅱ：＞a先移项转化为上述两种形式知识点二 简单的一元高次不等式的解法一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其步骤是：(1)将f(x)最高次项的系数化为正数；(2)将f(x)分解为若干个
2、一次因式或二次不可分解因式的积；(3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)；(4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．思考 (x－1)(x－2)(x－3)2(x－4)＞0的解集为______________．答案 {x
3、1＜x＜2或x＞4}解析 利用数轴穿根法知识点三 一元二次不等式恒成立问题对一元二次不等式恒成立问题，可有以下2种思路：(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔(2)分离参数，将恒成立问题
4、转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min.题型一 分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)＜0；(2)≤2.解 (1)由＜0，得＞0，此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，∴原不等式的解集为{x
5、x＜－4或x＞3}．(2)方法一 移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0，同解不等式为∴x＜2或x≥5.∴原不等式的解集为{x
6、x＜2或x≥5}．方法二 原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②解①得x≥5，解②得x＜2，∴原不等式的解集为{x
7、x＜2或x≥5}．跟踪训练1 不等式<2的解集为( )A．{
8、x
9、x≠－2}B．RC．∅D．{x
10、x<－2或x>2}答案 A解析 ∵x2＋x＋1＝2＋＞0，∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0，∴x≠－2.∴不等式的解集为{x
11、x≠－2}．题型二 解一元高次不等式例2 解下列不等式：(1)x4－2x3－3x2＜0；(2)1＋x－x3－x4＞0；(3)(6x2－17x＋12)(2x2－5x＋2)＞0.解 (1)原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0，当x≠0时，x2＞0，由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3；当x＝0时，原不等式为0＜0，无解．∴原不等式的解集为{x
12、－1＜x
13、＜3，且x≠0}．(2)原不等式可化为(x＋1)(x－1)(x2＋x＋1)＜0，而对于任意x∈R，恒有x2＋x＋1＞0，∴原不等式等价于(x＋1)(x－1)＜0，∴原不等式的解集为{x
14、－1＜x＜1}．(3)原不等式可化为(2x－3)(3x－4)(2x－1)(x－2)＞0，进一步化为(x－2)＞0，如图所示，得原不等式的解集为.跟踪训练2 若不等式x2＋px＋q＜0的解集是{x
15、1＜x＜2}，则不等式＞0的解集是( )A．(1,2)B．(－∞，－1)∪(6，＋∞)C．(－1,1)∪(2,6)D．(－∞，－1)∪(1,2)∪(6，＋∞)答案 D解析 由题意知x2＋px
16、＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)＞0⇒(x－1)(x－2)(x－6)(x＋1)＞0⇒x＜－1或1＜x＜2或x＞6.题型三 不等式恒成立问题例3 对任意的x∈R，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0，则a的取值范围为________．答案 －2＜a＜2解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立，只需Δ＜0即可，即(a－4)2－4(5－2a)＜0，解得－2＜a＜2.跟踪训练3 对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )A．
17、1＜x＜3B．x＜1或x＞3C．1＜x＜2D．x＜1或x＞2答案 B解析 f(x)＞0，∴x2＋(a－4)x＋4－2a＞0，即(x－2)a＋(x2＋4－4x)＞0，设g(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)由题意知，即∴x＜1或x＞3.题型四 一元二次不等式在生活中的应用例4 某人计划收购某种农产品，如果按每吨200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励个体多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2
