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1、直线与圆锥曲线的位置关系焦半径公式椭圆双曲线抛物线特别地,抛物线的焦点弦长为返回P在右支上1.直线和圆锥曲线的位置关系及判断、运用设直线l的方程为:Ax+By+C=0圆锥曲线方程为:f(x,y)=0由若消去y后得ax2+bx+c=0,若f(x,y)=0表示椭圆,则a≠0,为此有(1)若a≠0,设Δ=b2-4ac①Δ>0时,直线与圆锥曲线相交于不同两点②Δ=0时,直线与圆锥曲线相切于一点③Δ<0时,直线与圆锥曲线没有公共点2)若a=0,当圆锥曲线为双曲线时,直线l与双曲线的渐近线平行或重合.当圆锥曲线是抛物线时直线l与抛物线对称轴平行或重合.Ax+By+C=0f(x
2、,y)=0消元(x或y)4、直线与抛物线的位置关系(直线斜率存在)知识指要抛物线例:如图所示,过双曲线的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,求
3、AB
4、F1F2xyOAB法二:设直线AB的方程为与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0由两点间的距离公式得设A、B的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则xyOPAB点差法:验证:yxo)1,1(BNMyxo(2)假设存在这样的弦,∴不存在这样的弦k不存在显然不合题意设弦所在的直线方程为:并且交双曲线于C(x1,y1),D(x2,y2)(3)点差法求方程要注意检验:如果点在双曲线内部(图中的阴影部分),那
5、么以该点为中点的弦一定存在.如果点在双曲线外部(图中的另外部分),那么以该点为中点的弦不一定存在,必须检验.xoy例2.中心在原点一个焦点为 的椭圆的截直线 所得弦的中点横坐标为 ,求椭圆的方程.椭圆测试-10、12解:设所求椭圆的方程为由 得 ①把直线方程代入椭圆方程,整理得设弦的两个端点为 , ,则由根与系数的关系得又中点的横坐标为 .由此得解①、②得:变式2:已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,求该抛物线的准线方程.法一【解】:设A(x1,y
6、1),B(x2,y2),AB:y=x-,代入y2=2px得:y2-2py-p2=0,∴y1+y2=2p,由题意知:y1+y2=4,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.AB变式2:已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,求该抛物线的准线方程.法二【解】:设A(x1,y1),B(x2,y2),y12=2px1,y22=2px2,两式相减得:∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.AB椭圆的两个焦点为F1、F2,过左焦点作直线与椭圆交于A,B两点,若直线AB的倾角为
7、30度,求△ABF2的面积。例2优化154页-3xyB(x1,y1)F1F2o(x2,y2)A法一:利用d联立方程组{d=2过作到直线AB的垂线,设距离为d法二:利用分割思想xyB(x1,y1)F1F2o(x2,y2)A
8、AB
9、=直线和圆锥曲线的位置关系例2:是否存在使直线 与曲线 相交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点?若存在, 求出a的值;若不存在,请说明理由.oxyCAB解:设∵以AB为直径的圆过原点∴把 代入 化简得:由韦达定理得:∴,以AB为直径的圆过原点.1求圆锥曲线的最值常用哪些方法?思考:[例1]选择题1)点P在抛物线y
10、2=x上,定点A(3,0),则
11、PA
12、的最小值是()方法一:(建立目标函数)设P(x,y)则y2=x.B2变式1)若P为抛物线y2=x上一动点,Q为圆(x-3)2+y2=1上一动点,则
13、PQ
14、的最小值为__________见图4例3求点到椭圆上点的最大距离,并求出此时椭圆上的点的坐标。本题可以根据椭圆的方程设出满足条件的点的坐标,然后根据两点间的距离公式借助于二次函数求出此最大值,并求出点的坐标。分析:解:设点Q(x,y)为椭圆上的任意一点,则又因为x2=4-4y2所以(-1≤y≤1)椭圆的参数方程椭圆+=1的参数方程为:x=acosθy=bsinθ应用:用作三角代换,把
15、关于x、y的二元函数转化为一元的三角函数.此时,所以的最大值为即此时Q的坐标为:思考:我们能否通过椭圆的参数方程去求?1、练习2:Lxy•P解:设点P的坐标为(x,y)则点P到直线L的距离为例2如图,已知点P在椭圆x2+8y2=8上,求点P到直线L:x–y+4=0距离的最大、最小值.例2如图,已知点P在椭圆x2+8y2=8上,求点P到直线L:x–y+4=0距离的最大、最小值.xyL•P解法二:过点P作平行于L的直线L`当直线L`平移至与椭圆相切的位置时点P到直线L:x–y+4=0距离达到最大、最小值.L1L2L`设L`的方程为