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1、第八章*二、全微分在数值计算中的应用应用第三节一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束本节内容:一、全微分的定义全微分7/22/2021多元函数一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.7/22/2021多元函数(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得
2、函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微即7/22/2021多元函数定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有7/22/
3、2021多元函数推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数可知当*二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:机动目录上页下页返回结束(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)7/22/2021多元函数半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例3.有一圆柱体受压后发生形变,到20.0
4、5cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.机动目录上页下页返回结束求此圆柱体7/22/2021多元函数例4.计算的近似值.解:设,则取则机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数分别表示x,y,z的绝对误差界,2.误差估计利用令z的绝对误差界约为z的相对误差界约为机动目录上页下页返回结束则7/22/2021多元函数特别注意类似可以推广到三元及三元以上的情形.乘除后的结果相对误差变大很小的数不能做除数机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数例5.利用公式求计算面积时的绝对误差与相对误差.解：故绝对误差约为又所以S的相对误差约为计算三角形面积.现测得机动目录上
5、页下页返回结束7/22/2021多元函数例6.在直流电路中,测得电压U=24伏,解:由欧姆定律可知(欧)所以R的相对误差约为0.3+0.5R的绝对误差约为0.80.3;定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差.相对误差为测得电流I=6安,相对误差为0.5,=0.032(欧)=0.8机动目录上页下页返回结束求用欧姆7/22/2021多元函数内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数3.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数思考与练习1.P72题1(总
6、习题八)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03时△z=0.02,dz=0.033.P73题7机动目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数4.设解:利用轮换对称性,可得机动目录上页下页返回结束(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性7/22/2021多元函数答案:作业P241(3),(4);3;5;8;105.已知第四节目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数在点(0,0)可微.备用题在点(0,0)连续且偏导数存在,续
7、,证:1)因故函数在点(0,0)连续;但偏导数在点(0,0)不连机动目录上页下页返回结束证明函数所以7/22/2021多元函数同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2)3)题目目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数4)下面证明可微:说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则题目目录上页下页返回结束7/22/2021多元函数
