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1、第三节全微分全微分的定义可微的条件连续、可导与可微的关系小结、作业应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差机动目录上页下页返回结束一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义
2、:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是机动目录上页下页返回结束反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.所以函数
3、在点可微.注意到,故有可微连续可导???在多元函数中,三者的关系如何？二、连续、可导与可微的关系函数可微函数连续偏导数连续函数可导TH1TH2可微的定义TH1的反例例1.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例2.计算函数的全微分.解:机动目录上页下页返回结束将y,z看成常数:将x,z看成常数:例解将x,y看成常数:故例解解证不存在.证（1）令故函数),(yxf在点)0,0(连续。即，函数),(yxf在点)0,0(偏导数存在。(2)),(yxf在点)0,0(不可微.如果考虑点),(yxPDD¢沿着直线xy
4、=趋近于)0,0(，如果考虑点),(yxPDD¢沿着直线xy=趋近于)0,0(，多元函数连续、可导、可微的关系函数可微分函数连续偏导数连续偏导数存在１．多元函数全微分的概念；２．多元函数全微分的求法；３．多元函数连续、可导、可微的关系．（注意：与一元函数有很大区别）四、小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束思考与练习1.P72题1(总习题八)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题机动目录上页下页返回结束答案:也可
5、写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03时△z=0.02,dz=0.033.P73题7机动目录上页下页返回结束4.设解:利用轮换对称性,可得机动目录上页下页返回结束(L.P245例2)注意:x,y,z具有轮换对称性作业习题8-31,(3)(4);2;3
