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1、第三节全微分第七章(TotalDifferential)一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、小结与思考练习7/27/20211一、全微分的定义引例:设一块长方形金属薄片的长和宽分别为x、y，（DefinitionofTotalDifferentials）从而薄片的面积为S＝xy，金属薄片受温度变化的影响,变到长由变到宽由则此薄片面积的增量为关于△x、△y的线性主部当时，是比的高阶无穷小.故称为函数S＝xy在点(x,y)的全微分7/27/20212定义函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y
2、)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.一般地，我们有二元函数全微分的定义。7/27/20213二、全微分存在的条件函数z=f(x,y)在点(x,y)可微得函数在该点连续即由微分定义:(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微偏导数存在函数可微（ExistenceConditionsofTotalDifferential）7/27/20214若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有定理1(必要条件
3、)7/27/20215反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:7/27/20216证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.定理2(充分条件)7/27/20217所以函数在点可微.注意到,故有7/27/20218类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数习惯上把自变量的增量用微分表示,记作故有下述叠加原理称为偏微分.的全微分为于是推广:7/27/20219在点(2,1)处的全微分.解:例2计算函数的全微分.解:例1计算函数（自学课本例1）7/27/202110内容小结1.微分定义:2.重要关系:函
4、数可导函数可微偏导数连续函数连续7/27/202111课后练习习题7－31（偶数题）；2（2）；4思考与练习1.已知答案:2.设（详细解答见下页）7/27/202112解:利用轮换对称性,可得注意:x,y,z具有轮换对称性2.设7/27/202113函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.3.选择题7/27/202114在点(0,0)可微.在点(0,0)连续且偏导数存在,续,证:1)因故函数在点(0,0)连续.但偏导数在点(0,0)不连4.证明函数所以7/27/202115同理极限不存在,在点(0,0)不连续;同理,在点(0,0)也不连续.2
5、)3)7/27/2021164)下面证明可微:说明:此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.令则7/27/202117
