《高等数学》教学课件：第三节 全微分.ppt

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1、第六章多元函数的微分学第一节多元函数的极限与连续第二节偏导数第三节全微分第四节复合函数的微分法第五节二元函数微分学在几何上的应用第六节二元函数的极值7/30/2021第三节全微分2一、全微分应用一元函数y=f(x)的微分近似计算估计误差3一、全微分的定义定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，处全增量则称此函数在D内可微.4(2)偏导数连续可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x

2、,y)可微由微分定义:得函数在该点连续偏导数存在函数可微即5若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:由全增量公式必存在,且有得到对x的偏增量因此有可以证明6反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:偏导数存在函数不一定可微!7证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.可以证明8所以函数在点可微.注意到,故有9注意:可微函数的偏导数未必都连续!函数在（0,0）点的偏导数存在么？是否连续？函数是否可微？10推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数的全微分为11例5.计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例6.计

3、算函数的全微分.解:12可知当二、全微分在数值计算中的应用1.近似计算由全微分定义较小时,及有近似等式:(可用于近似计算;误差分析)(可用于近似计算)13半径由20cm增大解:已知即受压后圆柱体体积减少了例7.有一圆柱体受压后发生形变,到20.05cm,则高度由100cm减少到99cm,体积的近似改变量.求此圆柱体14多元函数的全微分在科学实验的误差处理过程中经常用误差限来估算误差.例如上例中测量长的误差限是0.001cm,测量宽度的误差限是0.0005cm,那么面积的估算误差限是多大.显然可以利用本例的解题思路去解决.例长为8m，宽为6m的长方形，若它的长减少10cm

4、，宽增加5cm,求这个长方形的对角线的变化的近似值.15内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续163.微分应用•近似计算•估计误差17