医学高等数学2.3微分ppt课件.ppt

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1、旧知回顾复合函数和隐函数求导对数求导法反函数求导法高阶导数定理1已知复合函数求导法对x求导对u求导，再代入x则注:这个公式可以推广到两个以上函数复合的情形．二、隐函数求导法如果y与x的函数关系隐含在F(x,y)=0中，这种形式的函数称为隐函数。如果我们把y看成中间变量，则可运用复合函数求导法则求出y对x的导数。显函数y=f(x)2.2.4对数求导法对数求导法适用于幂、指数函数、幂指函数或连乘函数幂指函数比较幂函数指数函数方程两边先同时取自然对数，然后将取了对数的结果利用对数的性质进行充分化简,最

2、后将化简后的结果看作隐函数,应用隐函数求导法求出其导数．2.2.5反函数求导法注意：此时的公式中可能是y的函数，要再变回到x2.2.6高阶导数函数的二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,记为三阶导数或三阶以上导数可类似定义。二阶导数物理意义是什么？如果的导数也存在，则称其为的二阶导数，记为前面我们从变化率问题引出了导数概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难

3、的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念——微分2.3.1微分的定义2.3.2微分的几何意义2.3.3微分的计算2.3.4微分在误差估计、近似计算及医学中的应用2.3微分实际问题中，常常要考察函数的改变量。特别当△x很小时，需要对函数的改变量△y=f(x+△x)-f(x)进行近似估计近似估计要求：（1）便于计算；（2）误差要小实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.常数次要部分再例如：既容易计算又是较好的近似值问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所

4、有函数的改变量都有?它是什么?如何求?2.3.1微分的定义定义2如果函数的增量是自变量增量的线性函数与自变量增量的高阶无穷小的和其中A是不依赖于△x的x的函数，则称函数y=f(x)在点x处可微，并称A△x为函数y=f(x)在x处的微分，记作dy=A△x由定义知:定理证(1)必要性(2)充分性(定义)例解则有自变量的微分,记作从而记导数也叫作微商可微可导连续有极限所以微分与导数是等价关系：MNT）几何意义:(如图)P以直代曲Q2.3.2微分的几何意义微分的基本公式可微可导微分的基本公式与导数的

5、基本公式相似微分公式一目了然,不必讲了2.3.3微分的计算求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.d(x)x1dxd(sinx)cosxdxd(cosx)sinxdxd(tanx)sec2xdxd(cotx)csc2xdxd(secx)secxtanxdxd(cscx)cscxcotxdxd(ax)axlnadxd(ex)exdx(x)x1(sinx)cosx(cosx)sinx(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx

6、)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(ex)ex微分公式:导数公式:1.基本初等函数的微分公式微分公式:导数公式:2.函数和、差、积、商的微分法则公式d(uv)vduudv的证明因为d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx而udxduvdxdv所以d(uv)vduudv(uv)uv(Cu)Cu(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdud(uv)vduud

7、v求导法则微分法则例22求函数yx2当在x=1且△x=0.1时的微分和增量。例22几何意义一阶微分形式的不变性:两者结果一样，形式不变微分形式的不变性练习题：1、求dy2、求dy2.3.4*微分在误差估计和近似计算中的应用一、误差估计设yf(x),若测得x的值为x0,且测量误差为x,那么计算y时将产生的误差yf(x0x)f(x0)。

8、x

9、和

10、y

11、分别称为x和y的绝对误差。分别称为x和y的相对误差。由微分的几何意义知,当

12、x

13、很小时,ydy。例24设已测得一圆的半径r为2

14、1.5厘米，且测量的绝对误差不超过0.1厘米，求计算圆面积S时所产生的绝对误差。已知r021.5厘米,

15、r

16、0.1厘米例25从一批密度均匀的药丸中，把所有直径等于1.0厘米的胶丸挑出来。如果挑出来的胶丸在半径上允许有3%的相对误差，并且选择的方法以重量为依据，试问在挑选时称重量的相对误差应不超过多少？解：设胶丸的密度为，半径为r，重量W，则：二、近似计算f(x0x)f(x0)f(x0).xf(x0x)f(x0)f(x0).x例26求sin44º（=0.694658