高等数学课件D8_3矢量间的积.ppt

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1、*三、矢量的混合积第三节一、两矢量的数量积二、两矢量的矢量积机动目录上页下页返回结束矢量间的积第八章一、两矢量的数量积沿与力夹角为的直线移动,1.定义设矢量的夹角为,称记作数量积(点积).引例.设一物体在常力F作用下,位移为s,则力F所做的功为机动目录上页下页返回结束2.性质为两个非零矢量,则有机动目录上页下页返回结束记作故3.运算律(1)交换律(2)结合律(3)分配律事实上,当时,显然成立;机动目录上页下页返回结束例1.证明三角形余弦定理证:则如图.设机动目录上页下页返回结束4.数量积的坐标表示设则当为非

2、零矢量时,由于两矢量的夹角公式,得机动目录上页下页返回结束例2.已知三点AMB.解:则求故机动目录上页下页返回结束为).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为A的平面域,与该平面域的单位垂直矢量解:单位时间内流过的体积的夹角为且为单位矢量机动目录上页下页返回结束二、两矢量的矢量积引例.设O为杠杆L的支点,有一个与杠杆夹角为符合右手规则矩是一个矢量M:的力F作用在杠杆的P点上,则力F作用在杠杆上的力机动目录上页下页返回结束1.定义定义矢量方向:(叉积)记作且符合

3、右手规则模:矢量积,称引例中的力矩机动目录上页下页返回结束模:几何意义：以a和b为边长的平行四边形的面积二、两矢量的矢量积1.定义定义矢量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:矢量积,称机动目录上页下页返回结束模:几何意义：以a和b为边长的平行四边形的面积二、两矢量的矢量积2.性质为非零矢量,则∥∥3.运算律(3)分配律(2)结合律(证明略)证明:机动目录上页下页返回结束4.矢量积的坐标表示式设则机动目录上页下页返回结束矢量积的行列式计算法机动目录上页下页返回结束思考:右图三角形面积S＝例4.已知三点角形

4、ABC的面积解:如图所示,求三机动目录上页下页返回结束一点M的线速度例5.设刚体以等角速度绕l轴旋转,导出刚体上的表示式.解:在轴l上引进一个角速度矢量使其在l上任取一点O,作它与则点M离开转轴的距离且符合右手法则的夹角为,方向与旋转方向符合右手法则,向径机动目录上页下页返回结束*三、矢量的混合积1.定义已知三矢量称数量混合积.记作几何意义为棱作平行六面体,底面积高故平行六面体体积为则其机动目录上页下页返回结束2.混合积的坐标表示设机动目录上页下页返回结束3.性质(1)三个非零矢量共面的充要条件是(2)轮换

5、对称性:(可用三阶行列式推出)机动目录上页下页返回结束例6.证明四个点共面.解:因故A,B,C,D四点共面.例7.已知一四面体的顶点4),求该四面体体积.解:已知四面体的体积等于以矢量为棱的平行六面体体积的故机动目录上页下页返回结束内容小结设1.矢量运算加减:数乘:点积:叉积:机动目录上页下页返回结束混合积:2.矢量关系:机动目录上页下页返回结束思考与练习1.设计算并求夹角的正弦与余弦.答案:2.用矢量方法证明正弦定理:机动目录上页下页返回结束证:由三角形面积公式所以因机动目录上页下页返回结束补充题1.已知矢

6、量的夹角且解：机动目录上页下页返回结束在顶点为三角形中,求AC边上的高BD.解：三角形ABC的面积为2.而故有机动目录上页下页返回结束