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《黄冈名师2020版高考数学大9.7利用向量求空间角和距离课件理新人教A版.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第七节利用向量求空间角和距离(全国卷5年18考)【知识梳理】1.异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则:a与b的夹角为βl1与l2所成的角为θ范围(0，π)______求法cosβ=cosθ=
2、cosβ
3、=_____2.直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=
4、cosθ
5、=_____.3.二面角的求法(1)如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小为θ=_________.(2)如图②③,n1,n2分
6、别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cosθ=cos或-cos.【常用结论】1.利用空间向量如何求线段长度利用可以求空间中有向线段的长度.2.点到平面的距离①“作一证一求”法:作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长;②转移法:如果平面α的斜线上两点A,B到斜足C的距离AC,BC的比为m∶n,则点A,B到平面α的距离比也为m∶n;③体积法:通常借助三棱锥,通过转换底面与顶点求点到平面的距离.【基础自测】题组一:走出误区1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)设a,b是异面直线l1,l2的方向向量,则l1与l
7、2所成的角就是a,b的夹角.()(2)设a是直线l的方向向量,b是平面α的法向量,则直线l与平面α成的角就是a,b的夹角.()(3)设a,b是两个平面α,β的法向量,则α与β所成的二面角的大小等于a,b的夹角的大小.()(4)若直线l平行于平面α的法向量,则直线l垂直于平面α.()(5)若不共线三个点到同一平面α的距离相等,则这三个点确定的平面β平行于平面α.()【解析】(1)×.因为∈(0,π),l1与l2夹角θ∈(0,].(2)×.因为的余弦的绝对值等于线面角正弦值.(3)×.因为与二面角的大小相等或互补.(4)√.因为法向量垂直于平
8、面,所以l⊥α.(5)×.可能有两点在平面一侧,第三个点在平面的另一侧.2.已知点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上,∠PDA=60°,则DP与CC1所成的角的大小为______.【解析】设正方体的棱长为1,以D点为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,D(0,0,0),=(1,0,0),=(0,0,1),连接BD,B1D1,在平面BB1D1D中,延长DP交B1D1于H,设=(m,m,1),由∠PDA=60°,可得m=,答案:45°题组二:走进教材1.(选修2-1P118T10改编)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是
9、C1D1的中点,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为()【解析】选D.如图建立空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,A(1,0,0),C(0,1,0),E,则=(-1,1,0),设异面直线DE与AC所成的角为θ,则cosθ=2.(选修2-1P117T4改编)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为2,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为________.【解析】以C为原点建立坐标系,得下列坐标:A(2,0,0),C1(0,0,2).点C1在侧面ABB1A1内的射影为点C2(，，2).所以=(-2，0，2)，设直线AC1与平面ABB
10、1A1所成的角为θ,则cosθ又θ∈,所以θ=.答案:3.(选修2-1P119T3改编)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,PD=DC,则二面角C-PB-D的大小为________.【解析】以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.设PD=DC=1,则D(0,0,0),P(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0).所以设平面PBD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),由n1·=0,n1·=0得令x1=1,得n1=(1,-1,0).设平面PBC的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),由n2·=0,n2·=0得令y2=1得n
11、2=(0,1,1),设二面角C-PB-D的大小为θ,则cosθ=所以θ=60°.答案:60°考点一 求异面直线所成的角【题组练透】1.直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()【解析】选C.以C为原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴,设CA=CB=1,则B(0,1,0),MA(1,0,0),所以所以2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=2,CC1=,则异面直线AB1和BC1所成角的大小为()A.30°B.45°C.60°D.
