高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第04章4-1.ppt

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1、第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分的基本公式与直接积分法第三节换元积分法第四节分部积分法第一节不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分二、不定积分的性质三、不定积分的几何意义一、原函数与不定积分定义4.1如果在区间I内，可导函数F(x)的导函数为f(x),即对任一xI,都有或dF(x)=f(x)dx,则称函数F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数.1.原函数的概念定理4.1如果函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数，且f(x)在该区间内

2、的所有原函数都可以表示成F(x)+C的形式（C为任意常数）.这个定理告诉我们:一个函数的无限多个原函数彼此只相差一个常数.如果欲求函数f(x)的所有原函数，只需求出函数f(x)的一个原函数，然后再加上任意常数即可得到函数f(x)的所有原函数.2.不定积分的概念定义4.2设F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数，则f(x)在区间I上的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）,称为f(x)在区间I上的不定积分，记作.即其中符号称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量，C称

3、为积分常数.任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量注解原函数存在定理如果函数在区间I内连续，那么在区间I内存在可导函数F(x),使,都有.①连续函数一定有原函数.②原函数不唯一③的全体原函数组成的集合或,称为f(x)在区间I上的不定积分.例1求当时，，是在内的一个原函数即在内，是在内的一个原函数即在内当时，解：二、不定积分的性质性质求原函数（或不定积分）与求导数是两种互逆的运算.即或．或．也就是说，对一个函数先积分再微分，结果是两者的作用相互抵消；若先微分再积分，则结果只相差一个积分常数．求已知函数的

4、原函数（或不定积分）的方法称为积分法．y=F(x)+COxyy=F(x)三、不定积分的几何意义在直角坐标系xOy中，f(x)的任意一个原函数F(x)的图形称为f(x)的一条积分曲线，其方程是y=F(x).积分曲线簇中的任一条曲线都可以由y=F(x)沿y轴平移一段C得到.因此，所有积分曲线是彼此平行的．这就是说，在横坐标相同的点x处，所有积分曲线的切线是彼此平行的，其斜率都是f(x)，即有因此可以说：不定积分在几何上表示f(x)的积分曲线簇，这簇曲线的特点是在横坐标相同处，它们的切线有相同的斜率f(x)，

5、因而是彼此平行的.若函数f(x)有一条积分曲线y=F(x),则f(x)有无穷多条积分曲线,它们的方程是y=F(x)+C.这些积分曲线称为曲线f(x)的积分曲线簇(如图4-1所示).例2设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.是的一个原函数.解设曲线方程为y=f(x),根据题意知即由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为例3一质点作直线运动，已知其速度v=2t+1,运动由t=0开始，开始时的位移为s=s0.求位移s和时间t之间的关系式s=s(t).解已知位移和速度之

6、间的关系为．因此有由条件，代入上式得C=s0，于是所求路程函数为s=t2+t+s0．返回