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《高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第05章5-6.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第六节定积分的应用一、定积分的元素法二、平面图形的面积三、旋转体的体积四、变力所做的功回顾曲边梯形求面积的问题abxyo一、定积分的元素法面积表示为定积分的步骤如下:（3）求和，得A的近似值.（1）把区间],[ba分成n个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i个小窄曲边梯形的面积为（4）求极限，得A的精确值yabxodA于是å»dxxfA)(dA=f(x)dx,A»D提示若用AD表示任一小区间],[xxxD+梯形的面积，则åD=AA，且上的窄曲边面积元素第一步无限细分区间[a,b],取有代表性的小区间[x,x+d
2、x](如图所示),求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值ΔU≈f(x)dx.这个值称为整体量的微元，记为dU,即dU=f(x)dx.第二步求和把这些微元对区间[a,b]无限求和，即得整体量U的值dU注:本章总假定函数f(x)在区间[a,b]上连续,整体量U对区间[a,b]具有可加性.y=f(x)（1）U是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量；（2）U对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把[]ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和;区间考虑用定积分来表达这个量U.就可以元素法的一般步骤：(
3、1)根据问题的具体情况，选取一个变量,例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；数在x处的函数值f(x)与dx的乘积,就把f(x)dx称为量U的元素,且记作dU,即;dxxfdU)(=UD能近似地表示为[a,b]上的一个连续函如果(2)设想把区间[a,b]分成n个小区间，取其中任一小的近似值.区间并记为],[dxxx+,求出相应于这小区间的部分量UD(3)以所求量U的元素f(x)dx为被积表达式,在区间[a,b]ò=badxxfU)(，即为所求量U的积分表达式.上作定积分,得这个方法通常称为元素法．应用方向为平面图形的面积；体
4、积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．二、平面图形的面积曲边梯形的面积xyo曲边梯形的面积1.直角坐标系情形xyo解两曲线的交点选为积分变量面积元素对于由曲线x=φ1(y),x=φ2(y)与直线y=c,y=d所围成的图形的面积为解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．xx+dx曲边扇形的面积2.极坐标系情形设由曲线)(qj=r及射线aq=、bq=围成一曲边扇形,求其面积.这里，)(qj在],[ba上连续,且0)(³qj．面积元素qqjdd
5、A2)]([21=解于是所求面积为上相应于例4计算阿基米德螺线q从0到p2的一段弧与极轴所围平面图形的面积.解利用对称性知2a例5求心形线)cos1(q+=ar所围平面图形的)0(>a.面积解利用对称性知2a例5求心形线)cos1(q+=ar所围平面图形的)0(>a.面积例﹡求心形线及圆qcos3=r所围成的阴影部分的面积（如右下图).解先求两线交点，以确定q的变化范围，解方程组旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台三、体积1.旋转体的体积旋转体的体积为xyo如果旋转体是由连续曲
6、线y=f(x)及直线x=a,x=b和x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体,其体积是多少?取积分变量为x,任取小区间[x,x+dx],再取以dx为底,f(x)为高的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yxj=、直线cy=、dy=及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，其体积为解直线OP的方程为解例7求星形线323232ayx=+)0(>a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解例8求摆线)sin(ttax-=,)cos1(tay-=的一拱与y=0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转所成的旋转
7、体的体积.绕y轴旋转的体积可看作平面图形OABC与OBC分别绕y轴旋转所构成的旋转体的体积之差..利用这个公式，可知上例中补充如果旋转体是由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，其体积为2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积返回1.变力沿直线所作的功四、物理学方面的应用由物理学知道，如果物体在作
8、直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上,且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时,力F对物体所作的功为W=FS.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.2rqkF
