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《高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第06章6-5.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第五节微分方程应用举例微分方程是与微积分同时产生的.许多实际问题的解决，导致求解微分方程,而微分方程的研究反过来又促进实际问题的解决,同时也促进了其他学科的发展.比如在天文学上，一般的天体都是通过观察发现的,而海王星的发现却是一个特例,它是Leverrier根据微分方程的研究结果，预见到有个行星存在，还算出了它在天空中的位置,后来按照他计算的结果而找到的.在近代，微分方程不仅在物理学、力学、工程学等方面继续发挥作用,还渗透进了生物学、经济学、医学等领域,形成了诸如生物数学、经济数学等许多的边缘学科,极大地促进了自然科学和社会科学的发展.下面通过一些实例说明微分方程的应用.例1一
2、曲线过点（1，2），它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求此曲线方程.根据题意，有整理得曲线方程满足的微分方程为其通解为根据初始条件，x=1时,y=2代入通解,得C=2,故所求曲线方程为解根据导数的几何意义,曲线上一点的切线斜率等于该点的导数.设所求曲线方程为y=y(x),其上任一点P(x,y)处的切线方程为 令X=0，则得到切线在y轴上的纵坐标为解由题设条件衰变规律例2(衰变问题)衰变速度与未衰变原子含量M成正比,已知00MMt==,求衰变过程中铀含量)(tM随时间t变化的规律..例3有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始
3、时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为其中,0.62为流量系数,S为孔口截面面积,g为重力加速度.比较(1)和(2)得:设在微小的时间间隔dV=-则水面的高度由h降至,即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为例4捕食—被捕食者的数学模型.上世纪二十年代，数学家V·沃特拉（Volterra）研究了相互制约的鱼类总数的变化情况.他将鱼分成两类：掠肉鱼（如鲨鱼等）作为捕食者，总数以y(t)表示，食用鱼作为被捕食者，总数以x(t)表示.他假设被捕食者内部竞争不激烈，则当不存在掠肉鱼时
4、，它的增长率遵循马尔萨斯方程：但当它遇到掠肉鱼时则被吃掉.两类鱼相遇的次数与它们的总量乘积成正比，因而单位时间内相遇次数为bxy（b为常数），故有方程对掠肉鱼来说，其自然减少率与现有数量成正比，设为-cy(c>0),当它和食用鱼相遇时，便促进它的增长，增长率与xy成正比，设为dxy(d>0),则得到方程(2)将(1),(2)两个方程联立，得到微分方程组(1)对上式的分析表明，降低捕鱼量对掠肉鱼有利.上式是在不存在人类的捕鱼活动时,掠肉鱼与食用鱼相互影响所遵循的微分方程组.若考虑捕鱼活动的影响，则得到下列方程组例5假设跳伞员离开飞机时（t=0）速度为零,下落过程中所受空气阻力与速
5、度成正比，求跳伞员下落速度与时间的函数关系.设跳伞员的下落速度为v(t),下落过程中同时受到重力mg与阻力kv（k为比例系数）的作用,其中重力方向与速度的方向一致，而阻力的方向与速度相反.因而跳伞员所受外力为F=mg-kv.解本题中所要用到的物理知识是牛顿第二运动定律：物体所受作用力等于物体的质量与加速度的乘积.即F=ma.而速度关于时间的导数为加速度.根据牛顿第二运动定律可得函数v(t)满足的微分方程如下：(6-24)初始条件为v
6、t=0=0.方程（6-24）为常系数一阶线性微分方程，也是可分离变量的微分方程，分离变量,得计算积分,得两边积分将初始条件代入上式,得故所求特解为
7、可化为或者化为(6-25)由（6-25）式可以看出，随着时间t的增大,速度v越来越接近常数，且不会超过这个常数.可见，跳伞后开始阶段是加速运动，很长一段时间后将接近于等速运动.受力分析物体在振动过程中,受到两个力的作用:弹性恢复力f1与阻力f2,由胡克定律知f1=-kx,其中k为弹性系数大于0,负号表示弹性恢复力f1与位移x方向相反;阻力f2=-μv与速度v成正比,其中μ为比例系数大于0(μ又称为阻尼系数),负号表示阻力f2与速度v方向相反.解建立坐标系(如图所示)，以静止点为原点O.给弹簧初始位移然后放开，弹簧开始振动.以x=x(t)表示位移,v表示速度.根据牛顿第二运动定律
8、F=ma,知其中为a加速度,v为速度,从而上式成为化为(6-26)此问题中初始位移设为x0,初速度为0，即x
9、t=0=x0,x'
10、t=0=0.其中的微分方程是二阶常系数齐次线性微分方程.它的特征方程为在方程(6-26)中记这里n,ω为正常数,则有初值问题以下分三种情形来讨论.(1)大阻尼情形,即n>ω.这时,特征方程有两个不相等的实数根所以方程的通解为(2)临界阻尼情形,即n=ω.这时,特征根为r1=r2=-n,所以方程的通解为(3)小阻尼情形,即n<ω.所以方程的通解为这时,特征根为一对共
