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《高等数学 教学课件 作者 曹瑞成 姜海勤 主编 第03章3-3.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、问题:如何研究曲线的弯曲方向?第三节曲线的凹凸性与函数图形的描绘一、曲线的凹凸性及其判别方法图3-11图3-11显示：凡呈凸形的曲线弧，则在弧的每一点处作切线，这些切线总在曲线弧的上方；凡呈凹形的曲线弧，则在弧的每一点处作切线，这些切线总在曲线弧的下方.根据曲线弧的上述特性，给出曲线凹凸性的定义.定义3.3若在区间(a,b)内，曲线y=f(x)的各点处的切线都位于曲线的下方，则称此曲线在(a,b)内是凹的；若曲线y=f(x)的各点处切线都位于曲线的上方，则称此曲线在(a,b)内是凸的．图3-11还显示：随着横坐标x的增
2、加，凹曲线弧上各点的切线斜率逐渐增大，即是单调增加的；凸曲线弧上各点的切线斜率逐渐减少，即是单调减少的.对于的增减性可由的导数、即来确定，由此可得曲线凹凸性的判别法.定理3.8(曲线的凹凸性的判定定理)设函数y=f(x)在区间(a,b)内具有二阶导数，(1)如果在区间(a,b)内,则曲线y=f(x)在区间(a,b)内是凹的；(2)如果在区间(a,b)内,则曲线y=f(x)在区间内(a,b)是凸的．例1判定曲线y=sinx在[0，2]内的凹凸性．解(1)I=[0,2]；(2)，令，得；(3)在内，，曲线是凸的；在内,
3、，曲线是凹的.例﹡解注意到,二、曲线的拐点及其求法定义3.4若连续曲线y=f(x)上的点P是凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点，则称点P是曲线y=f(x)的拐点.简单地说：拐点就是连续曲线凹凸弧的分界点.定理3.9（拐点的必要条件）若函数y=f(x)在x0处二阶导数存在，且点(x0,f(x0))为曲线的拐点，则.值得注意的是是点(x0,f(x0))为拐点的必要条件，而非充分条件.例如y=x4,当x=0时，,但是点(0,0)不是曲线y=x4的拐点，因为在点(0,0)两侧不变号.定理3.10（拐点的充分条件）若，且在x0两侧变
4、号，则点(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.第一步确定y=f(x)的定义域D，并求出其二阶导数；第二步令,求出的零点及其不存在的点；第三步用上述各点从小到大依次将D分成若干个子区间，考察在每个子区间内的符号，若在某分点x0两侧异号，则(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点，否则不是．这一步通常以列表形式表示．根据定理3.10、并注意到二阶导数不存在的点也有可能为拐点.因此，可以按以下步骤来判定曲线的拐点：注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.例2解凹的凸的凹的拐点拐点例3解三、曲线的渐近线定义3.5若曲
5、线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某一固定直线L的距离趋于零，则称直线L为曲线C的渐近线．1．水平渐近线定义3.6对于函数y=f(x)，其定义域为无限区间，若或(b为常数)，则称直线y=b为曲线y=f(x)的水平渐近线．例3求曲线的水平渐近线．解 因为，所以当曲线向左右两端无限延伸时，均以为其水平渐近线（如图3-13所示）．图3—13xyOxyO21图3—142．垂直渐近线定义3.7对于函数y=f(x)，若或或(a为常数)，则称直线x=a为曲线y=f(x)的垂直渐近线．例4求曲线的渐近线．解 因为，，所以当
6、x从2的左、右两侧趋向于2时，曲线分别向下、上无限延伸，且以x=2为垂直渐近线．又，所以当曲线向左右两端无限延伸时，均以y=1为其水平渐近线（如图3-14所示）．xyO21图3-14利用函数y=f(x)特性描绘函数图形的一般步骤：二、函数图形的描绘第一步确定函数的考察范围(通常是函数的定义域)，并判断函数有无奇偶性与周期性，确定作图范围；第二步求函数的一阶导数，确定函数的单调区间与极值点；第三步求函数的二阶导数，确定函数图形的凹凸区间与拐点；第四步若函数的定义域无界，则要考察函数图形有无渐近线；第五步根据需要补充函数图
7、形上的若干个关键点（如图形与坐标轴的交点等）；第六步以描点法作出函数图象．其中第二步和第三步常常以列表方式表达．例5描绘函数的图像．解(1)函数的定义域是D=(-∞,+∞),且为偶函数，其图形关于y轴对称，所以只要先作出在x≥0范围内的图形，再作关于轴对称的图形，即可得全部图形；(2)，令，得x=0；(3)，令，得；(4)当时，有，所以函数图形有水平渐近线y=0．(5)作出函数在上的图形，并利用对称性，画出全部图形（图3-15）．该图形称为概率曲线．列表3-6：x0+0------0+y凸而增极大值1凸而减拐点凹而减图
8、3－1510.5Oxy例6解(1)函数的定义域D={x
9、xR,x≠0},非奇非偶函数,且无对称性.(2)(3)(4)得水平渐近线y=-2;,得垂直渐近线x=0.(5)列表、描绘函数图形列表3-7确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点:拐点不存在极小值间断点x=0凸而减凹而减凹而增凹而减例7解偶函数,图形关于y轴对称.拐点极大值列
