复变函数的积分.ppt

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1、第三章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念§3.2柯西积分定理§3.3柯西积分公式及其推论§3.4解析函数与调和函数的关系第三章复变函数的积分§3.1复变函数积分的概念§3.2柯西-古萨基本定理§3.3基本定理的推广§3.4原函数与不定积分§3.5柯西积分公式§3.6解析函数的高阶导数§3.7解析函数与调和函数的关系第三章复变函数的积分1.有向曲线2.积分的定义3.积分存在的条件及其计算法4.积分性质§3.1复积分的概念及性质1.有向曲线CA(起点)B(终点)CC2.积分的定义定义DBxyo3.积分存在的条件及其计算法定理证明由曲线积分的计算法得4.积分性

2、质由积分定义得：例1解又解Aoxy例2解oxyrCîíì¹==-=-òò=-++0002)()(01010nnizzdzzzdzrzznCnpoxy例3解解:例4分析§1的积分例子:§3.2Cauchy-Goursat基本定理由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的探讨Cauchy-Goursat基本定理：BC—也称Cauchy定理(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图。BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起

3、点z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。Cz1z0C1C2C1C2z0z1复合闭路定理：§3.3基本定理推广—复合闭路定理证明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH说明此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.—闭路变形原理DCC1C1C1例解C1C21xyo练习解C1C21xyo1.原函数与不定积分的概念2.积分计算公式§3.4原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分∫cfdz与

4、路径无关，只与起点和终点有关。当起点固定在z0,终点z在B内变动,∫cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且定义若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，即,称(z)为f(z)在B内的原函数.上面定理表明是f(z)的一个原函数。设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数。(见第二章§2例3)2.积分计算公式定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，

5、F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强例1计算下列积分：解1)例3计算下列积分：小结求积分的方法利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法.内容简介§3.5Cauchy积分公式分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分定理(Cauchy积分公式)证明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平

6、均值.(解析函数的平均值定理)例1解例2解CC1C21xyo例3解补充练习求积分：1.2.内容简介本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。§6解析函数的高阶导数形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。定理证明用数学归纳法和导数定义。令为I依次类推，用数学归纳法可得一个解析函数的导数仍为解析函数。例1解