弹性力学之能量原理与变分法.ppt

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1、弹性力学第十一章能量原理与变分法11.1弹性体的形变势能第十一章能量原理与变分法泛函：以函数为自变量的一类函数。变分法：主要研究泛函及其极值的求解方法。弹性力学中所研究的泛函主要是弹性体的能量，例如形变势能、外力势能等。弹性力学中的变分法又称作能量法。弹性力学中所研究的泛函主要是弹性体的能量，例如形变势能、外力势能等。弹性力学中的变分法又称作能量法。形变势能密度：弹性体的全部形变势能密度或比能：整个弹性体的形变势能为：弹性体的形变势能可以用所有的应力分量来表示：第十一章能量原理与变分法弹性体的形变势能密度或比能可以全部用应力分量来表示：弹

2、性体的形变势能可以用所有的应力分量来表示：将形变势能密度或比能对六个应力分量求偏导数，可得：结论：弹性体的比能对任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量!第十一章能量原理与变分法故弹性体的形变势能用应变分量可表示为：将形变势能密度或比能对六个应变分量求偏导数，可得：利用物理方程可以将形变势能密度或比能完全用应变分量表示为：结论：弹性体的比能对任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量!第十一章能量原理与变分法形变势能还可以用位移分量来表示：第十一章能量原理与变分法根据能量守恒定律，形变势能的增加等于外力势能的减少，也就等于外力所做的功，

3、即：根据能量守恒原理，形变势能的增加等于外力势能的减少，也就等于外力所作的功，即所谓虚功。在体力和面力的作用下，外力在虚位移上所作的功为：11.2位移变分方程设u,v,w为弹性体中实际存在的位移，假设这些位移分量发生了位移边界条件所允许的微小改变，即虚位移，这时弹性体从实际位移状态进入邻近的所谓位移状态：第十一章能量原理与变分法两个重要推论：——位移变分方程(拉格朗日变分方程)：说明在实际状态发生位移的变分时，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。从而引起形变势能的变分为：1.虚功方程第十一章能量原理与变分法将形变势能密度或比能看作形

4、变分量的函数，则代入位移变分方程，可得：——此即虚功方程说明：如果在虚位移发生以前，弹性体处于平衡状态，则在虚位移过程中，外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚应变上所做的功。注：可以利用虚功原理来推导有限元的一般方程。第十一章能量原理与变分法2.极小势能原理——极小势能原理外力势能故可以得到说明：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中实际存在一组位移应使总势能成为极值，如果考虑二阶变分，可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。第十一章能量原理与变分法位移变分方程、虚功方程和极小势能原理虽然表达式不一样，但是可以代替平衡

5、微分方程和应力边界条件。但是三者的本质是一样的，他们都是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒定理的具体应用。如果位移分量满足了位移边界条件外，还满足应力边界条件，则弹性体位移变分所满足的方程为：——伽辽金变分方程。弹性体只要满足极小势能原理，就自动满足平衡方程与应力边界条件，反之，若弹性体满足平衡方程与应力边界条件，则自然满足极小势能原理式。即极小势能原理与平衡方程、应力边界条件具有等价性。有了这样一个等价性，对于弹性力学问题可以有两类解法：1).直接求解平衡微分方程，并使解答满足应力边界条件,本书前面几章就是采用的这种解法；2).

6、将弹性力学问题归结为求能量泛函Π（弹性体的总势能）的最小值问题，这种解法也称为能量解法。第十一章能量原理与变分法11.3位移变分法弹性力学的位移变分方程为：设想：若能设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使它们满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程(即满足平衡方程和应力边界条件)并求出待定系数，这样可以得到实际位移的解答。其中：第十一章能量原理与变分法若取位移表达式如下：其中为3m个互不依赖的待定系数，在边界上有：注：为设定函数，仅随坐标变化，与位移的变分没有关系，位移变分只是由系数的变分来实现。位移分量的变分为：故形变势能

7、的变分为：第十一章能量原理与变分法代入位移变分方程可得：合并系数可得：第十一章能量原理与变分法根据的独立性，可以得到求解的位移变分方程：形变势能U是系数的二次函数，故上面两式是各个系数的一次函数，各个系数之间互相独立，通过求解这些一次方程组可以得到各个系数，再利用位移分量的表达式得到位移分量，此方法别称作瑞利－里兹法。。注：1.用位移法求得位移分量后，可以利用弹性方程得到应力分量，利用几何方程得到应变分量。2.取不多的系数可以得到比较精确的位移分量，但是求出的应力分量误差较大，需要取更多的系数才得到比较精确的应力解答。第十一章能量原理与变

8、分法若取得的位移分量满足位移边界条件和应力边界条件，则求解位移系数的变分方程为：各个系数之间互相独立，通过求解这些一次方程组可以得到各个系数，再利用位移分量的表达式得到位移分量，此方法称作伽辽