弹性力学-05(变分法).ppt

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1、1.弹性力学问题的微分提法及其解法：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程（4）边界条件应力边界条件；位移边界条件。定解问题求解方法：（1）按位移求解基本方程：（a）以位移为基本未知量的平衡微分方程;（2）按应力求解基本方程：（a）平衡微分方程；（b）边界条件。（b）相容方程；（c）边界条件。（a）归结为求解联立的微分方程组；求解特点：（b）难以求得解析解。从研究微小单元体入手，考察其平衡、变形、材料性质，建立基本方程：§5-4弹性体的形变势能和外力势能2.弹性力学问题的变分提法及其解法：基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变

2、为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。（c）同时以位移、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。——位移法——力法——混合法——有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法的理论基础。求解方法：里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin）法，加权残值（余量）法等。3.弹性力学问题的数值解法：（a）直接

3、求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）——有限差分法；基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。典型软件：FLAC实质：将变量离散。（b）对变分方程进行数值求解——有限单元法、边界单元法、离散单元法等典型软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；——基于有限元法的分析软件；UDEC——基于离散元法的分析软件；基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。1.形变势能的一般表达

4、式Pxl0l单向拉伸：PlOPl外力所做的功：由于在静载（缓慢加载）条件下，其它能量损失很小，外力功全部转化杆件的形变势能（变形能）U：杆件的体积令：——单位体积的变形能，称为比能。三向应力状态：一点的应力状态：xyz三向应力状态：一点的应力状态：xyz由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序无关，只取决于最终的状态。假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，此时，单元体的形变比能：（a）对于平面问题，在平面应力问题中，在平面应变问题中，因此，（a）（b）整个弹性体的形变势能：（c）2.形变势能的应变分量表示在线弹性的情况下，由物理

5、方程（2-16）：代入式（b），整理得：（d）（e）将式（e）分别对3个应变分量求导，并将其结果与物理方程(d)比较，得：从而，（5-15）表明：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。3.形变势能的位移分量表示只需将几何方程代入式(e)，得：在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。（f）由式(e)和(f)可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因此，叠加原理不再适用。∵0<<1/2，∴U≥0即弹性体的形变势能是非负的量。（5-16）外力的虚功：体力：面力：——外力取应变或位移分量为零时的状态为自然状态，此时外

6、力的功和势能为零。由于外力做的功消耗了外力势能，因此，在发生实际位移时，弹性体的外力势能为：（5-17）（5-18）§11-2位移变分方程1.泛函与变分的概念（1）泛函的概念函数：x——自变量；y——因变量，或称自变量x的函数。泛函：x——自变量；y——为一变函数；F——为函数y的函数，称为泛函。例1：P1——弯矩方程梁的形变势能：ABlx——泛函例2：例2：因为所以，U被称为形变势能泛函。（2）变分与变分法设：当自变量x有一增量：函数y也有一增量：dy与dx，分别称为自变量x与函数y的微分。研究自变量的增量与函数增量的关系——微分问题P1ABlx设：函数y有一

7、增量：泛函U也有一增量：P1ABlx设：函数y也有一增量：泛函U也有一增量：函数的增量y、泛函的增量U称为变分。研究自变函数的增量与泛函的增量间关系——变分问题。微分和变分都是微量，它们的运算方法是相同的，如：变分的运算变分与微分运算：变分运算与微分运算互相交换。变分与积分运算：变分运算与积分运算互相交换。复合函数的变分：其中：一阶变分：复合函数的变分：其中：一阶变分：二阶变分：——二阶变分用于判别驻值点是取得极大值还是极小值。2.位移变分方程建立：弹性体的形变势能与位移间变分关系——位移变分方程qP应力边界S位移边界Su设弹性体在外力作用下，处于平衡状态

8、。边界：位移场：应力场：