弹性力学—第五章—变分法

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1、第五章变分法简介胡衡武汉大学土木建筑工程学院弹性力学及有限元二零零八年六月函数的变分如果对于变量x在某一变域上的每一个值，变量y有一个值和它对应，则变量y称为变量x的函数,记为：如果由于自变量x有微小增量dx，函数y也有对应的微小增量dy，则增量dy称为函数y的微分,记为：假想函数的形式发生改变而成为新函数，如果对于x的一个定值，y具有微小增量：增量称为函数的变分。函数的变分yx1x2xu*uδu是函数u的变分。ABzδu泛函及其变分计算泛函：如果对于某一类函数中的每一个函数,变量J有一个值和它对应，则变量J称为依赖于函数的泛函，简单的说，泛函就是函数的函数。记为：例如，连接平面内给

2、定的两点之间的曲线长度可以写为：显然，曲线长度依赖于函数的形式，则是函数的泛函。泛函及其变分计算设泛函I有如下形式：下面计算泛函I的变分：首先，函数的变分为：泛函及其变分计算接着考察泛函I的变分：另一方面：只要积分上下限不变，变分的运算可以和定积分的运算交换次序。泛函及其变分计算泛函I在曲线上达到极大值或极小值的必要条件为：例如对于：其达到极值必须有：泛函及其变分计算0设函数通过A，B两点，且具有边界条件：试写出泛函的极值条件。泛函及其变分计算简例，试求连接平面内给定两点之间的曲线长度最短时的曲线函数。弹性体的形变势能弹性力学变分法中所研究的泛函，就是弹性体的能量，如形变势能，外力势

3、能等。因此弹性力学中的变分法又称为能量法。弹性体的形变势能密度为：弹性体的形变势能为：对平面问题：弹性体的形变势能弹性体的形变势能由上式可知，弹性体的形变势能大于等于零，试证明之。弹性体的外力势能外力所做的功称为外力功：由于外力做了功，因此消耗了外力势能，则弹性体的外力势能为：体力面力面力作用面位移变分方程现在我们来考察，由于弹性体发生了虚位移和，所引起的外力功，外力势能和形变势能的改变：位移变分方程&极小势能原理假定弹性体在虚位移过程中并没有温度的改变和速度的改变，这样，按照能量守恒定理，形变势能的增加应该等于外力势能的减少，也就是等于外力所做的功，于是：位移变分方程：极小势能原理

4、：在给定的外力作用下，满足位移边界条件的所有组位移状态中，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。虚功方程如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的功就等于应力在虚应变上所做的虚功。位移变分方程（或极小势能原理，或虚功方程）等价于平衡微分方程和应力边界条件，或者说可以代替平衡微分方程和应力边界条件。练习已知右图中杆件中的纵向位移u与横向向位移v之间的关系如下：xy其中u0为杆件中轴的纵向位移，假设其为常数，v只是纵向坐标的函数，试写出该杆件的形变势能，并计算形变势能的变分。l0位移变分法（1）若设定一组包含若干待定系数的位移分量的表达式，并使它们

5、预先满足位移边界条件，然后再令其满足位移变分方程（用来代替平衡微分方程和应力边界条件）并求出待定系数，就同样能得出实际位移的解答。位移变分法（2）Am，Bm为互不依赖的2m个待定系数，用来反映位移的变化，即位移的变分是由Am，Bm的变分来实现：形变势能的变分：位移变分法（3）代入位移变分方程：按每个系数的变分合并：位移变分法（4）由于形变势能U是Am，Bm的二次函数，故上式是各系数的一次方程。又因为各系数是互不依赖的，因此由上式可确定各系数。不多的Am，Bm可以求得较精确的位移值，但应力却很不精确。瑞利-里茨法（J.W.Rayleigh，1842-1919，英国;W.Ritz，187

6、8-1909，瑞士。)位移变分法例题（a-1）设有宽度为a高度为b的矩形薄板，在左边受连杆支撑，在右边及上边分别受有均布压力q1及q2，不计体力，试求薄板的位移。xyq1q21.由于所有边界上都没有不等于零的已知位移，所以设定位移函数满足位移边界条件:总有：2.只取A1，B1两个待定系数：位移变分法例题（a-2）xyq1q2代入形变势能表达式得到位移变分法例题（a-3）xyq1q2得到位移变分法例题（a-4）xyq1q2得到即便多取几个未知数Am，Bm，所得解答也为上式，且该解答就是此类问题的精确解，因为它能满足平衡微分方程及应力边界条件。位移变分法例题（b-1）设有宽度为2a高度为

7、b的矩形薄板，它的左右及下边界均被固定，而上边的自由边界有给定位移:xyaabb不计体力，试求薄板的位移。位移边界条件要求u是x的奇函数，v是x的偶函数，并且：位移变分法例题（b-2）xyaabb代入形变势能表达式代入