弹性力学第五章用差分法和变分法解平面问题

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1、TheoryofElasticity弹性力学朱鸿鹄南京大学地球科学与工程学院www.slope.com.cn第五章用差分法和变分法解平面问题武都重力坝物理模型试验NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题主应力(kPa)和主方向、位移量(mm)NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题ANSYS有限元网格划分NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题x方向位移NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题x方向

2、应力NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题弹性力学的经典解法存在一定的局限性，当弹性体的边界条件和受载情况复杂一点，往往无法求得偏微分方程的边值问题的解析解。因此，各种数值解法便具有重要的实际意义。差分法和变分法就较就是沿用较久的久的两种种数值解法。NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题所谓差分法((tFiniteeDiffeeecerenceMetetod,hod,FDM)，是把基本方程和边界条件（一般均为微分方程OrdinaryDiffere

3、ntialEquation,简称ODE）近似地改用差分方程（代数方程）来表示，把求解微分方程的问题改换成为求解代数方程的问题。NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题§5-1差分公式的推导x我们在弹性体上，用相隔等间距h而平行于坐标轴的两组平行线织成正方形网格(mesh)，如图5-1。设f=f(x,y)为弹性体内的某一个连续函数。该函数在y图5-1平行于x轴的一根网线上，例如在3-０-１上，它只随x坐标的改变而变化。NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题x在邻近结点０处，函数ff()f=f(x,y)可展为泰勒级数

4、如下：2⎛⎞∂∂ff1⎛⎞2ff=00+−⎜⎟()xx+⎜⎟2()xx−0⎝⎠∂∂xx2!⎝⎠0031⎛⎞∂f3+−⎜⎟(xx)+...303!⎝⎠∂xy图5-10我们将只考虑离开结点０充分近的那些结点(node)，即(x-x)充分小。于是可不计(x-x)的00三次及更高次幂的各项，则上式简写为：2⎛∂f⎞1⎛∂f⎞2f=f0+⎜⎟(x−x0)+⎜⎜2⎟⎟(x−x0)(b)⎝∂x⎠02!⎝∂x⎠0NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题2⎛∂f⎞1⎛∂f⎞2f=f0+⎜⎟(x−x0)+⎜⎜2⎟⎟(x−x0)(b)⎝∂x⎠02!⎝∂x⎠0x在

5、结点3，x=x-h；在结点1，0x=x+h。代入(b)得：022⎛∂f⎞h⎛∂f⎞f3=f0−h⎜⎟+⎜⎜2⎟⎟(c)⎝∂x⎠02⎝∂x⎠022⎛∂f⎞h⎛∂f⎞f1=f0+h⎜⎟+⎜⎜2⎟⎟(d)⎝∂x⎠02⎝∂x⎠0y图5-1NANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题22x⎛∂f⎞h⎛∂f⎞f3=f0−h⎜⎟+⎜⎜2⎟⎟(c)⎝∂x⎠02⎝∂x⎠022⎛∂f⎞h⎛∂f⎞f1=f0+h⎜⎟+⎜⎜2⎟⎟(d)⎝∂x⎠02⎝∂x⎠0联立(c)、(d)，解得差分公式：⎛∂f⎞f1−f3⎜⎟=(1)⎝∂x⎠02hy图5-12⎛∂f⎞f+f−2f⎜⎟

6、130=(2)⎜2⎟2⎝∂x⎠0hNANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题x同理，在网线4-0-2上可得到差分公式：⎛⎞∂−fff⎜⎟=24(3)⎝⎠∂yh20·2⎛⎞∂+ffff−2⎜⎟=240(4)22⎝⎠∂yh0y·图5-1以上(1)-(4)是基本差分公式，从而可导出其它的差分公式如下：混合二阶导数⎛2⎞∂f1⎜⎟=[(f+f)−(f+f)](5)⎜⎟26857⎝∂x∂y⎠04hNANJINGUNIVERSITY第五章用差分法和变分法解平面问题四阶导数4⎛⎞∂f1⎜⎟44=[[()64fffff01−+++()39()11](6))⎝

7、⎠∂xh04⎛⎞∂f1⎜⎟=−[4fffffffff2(+++)(++++)](7)224012345678⎝⎠∂∂xyh04⎛⎞∂f1⎜⎟=−+[6fffff4()(++)](8)440241012⎝⎠∂yh0差分公式(1)及(3)是以相隔2h的两结点处的函数值来表示中间结点处的一阶导数值，可称为中点导数公式。以相邻三结点处的函数值来表示一个端点处的一阶导数值，可称为端点导数公式。应当指出：中点导数公式与端点导数公式相比，精度较高。因为前者反映了结点两边的函数变化，而后者却只反映了结点一边的函数变化。因此，我们总是尽可能应用前者，而只有在无法应用前者时才不得不