第五章 用差分法和变分法解平面问题.ppt

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1、例题第一节差分公式的推导第二节应力函数的差分解第三节应力函数差分解的实例第四节弹性体的形变势能和外力势能第五节位移变分方程第六节位移变分法第五章用差分法和变分法解平面问题第七节位移变分法例题弹性力学的基本解法是，根据静力平衡条件，形变与位移之间的几何条件和形变与应力之间的物理条件，建立微分方程和边界条件。近似解法因此，弹性力学问题属于微分方程的边值问题。通过求解，得出函数表示的精确解答。§5-1差分公式的推导对于工程实际问题，由于荷载和边界较复杂，难以求出函数式的解答。为此，人们探讨弹性力学的各种近似解法，主要有变分法，差分法和有限单元法。近似解法差分法是微分方程的一种

2、数值解法。它不是去求解函数，而是求函数在一些结点上的值。fxo差分法差分法的内容是：差分法将微分方程用差分方程（代数方程）代替，于是，求解微分方程的问题化为求解差分方程的问题。将导数用有限差商来代替，将微分用有限差分来代替，导数差分公式的导出：导数差分公式在平面弹性体上划分等间距h的两组网格，分别∥x，y轴。网格交点称为结点，h称为步长。应用泰勒级数公式将在点展开，(a)抛物线差分公式--略去式(a)中以上项，分别用于结点1，3，抛物线差分公式结点3，结点1，抛物线差分公式式(b)又称为中心差分公式，并由此可导出高阶导数公式。从上两式解出o点的导数公式，应用泰勒级数导出

3、差分公式，可得出统一的格式，避免任意性，并可估计其误差量级，式(b)的误差为。抛物线差分公式线性差分公式─在式(a)中仅取一，二项时，误差量级为。线性差分公式式(c)称为向前差分公式。对结点1，得：对结点3，得：线性的向前或向后差分公式，主要用于对时间导数的公式中。式(d)称为向后差分公式。例1稳定温度场中的温度场函数T(x，y)应满足下列方程和边界条件：（在A中）,(a)（在上）,(b)（在上）.(c)稳定温度场的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在　上的第一类边界条件是已知边界上的温度值；在上的第二类边界条件是已知热流密度值，其中　是导热系数。现在我们将式(a)，(b)

4、，(c)转化为差分形式。应用图5－1网格，和抛物线差分公式，（1）将　　　　化为差分公式，得（2）若x边界516上为第一类边界条件，则已知。（3）若y边界627上为第二类边界条件，已知　　，则(d)由于　　　　　所以得这时，边界点2的　是未知的，对2点须列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可将式（e）代入。(e)例2稳定温度场问题的差分解。设图中的矩形域为6m×4m，取网格间距为h=2m，布置网格如图，各边界点的已知温度值如图所示，试求内结点a，b的稳定温度值。ab40353025322224222017解出解（度）。思考题1.比较导数的抛物线差分公式和线性差分公式的区

5、别。2.应用抛物线差分公式(5-2)，试导出3阶导数的差分公式。对于单连体，按应力函数求解时，应满足:§5-2应力函数的差分解按求解（3）求出后，由下式求应力（假设无体力）:按求解差分法求解1.应力公式(c)的差分表示。对于O点，差分法求解：相容方程化为：对每一内结点，为未知，均应列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示对边界内一行结点列式(e)方程时，需要求出边界点和边界外一行结点（虚结点）的值。为了求虚结点的值，需要求出边界点的，值。相容方程3.应用应力边界条件(b)，求出边界点的，，值。边界条件⑴应力边界条件用表示取出坐标的正方向作为边界线s的正向（图中为

6、顺时针向），当移动时，为正，而为负，所以外法线的方向余弦为边界条件(f)边界条件即将上式和式(d)代入式(b)，得边界条件式(f)，(g)分别是应力边界条件的微分，积分形式。再将式(f)对s积分，从固定的基点A到边界任一点B，得通过分部积分从A到B积分，得边界条件(h)⑵由全微分求边界点的⑶因为A为定点，，和，，，均为常数，而式(h)中，加减x，y的一次式不影响应力，所以可取故边界结点的和导数值，由式(g)，(h)简化为边界条件式(i)的物理意义是：第一式表示从A到B边界上x向面力的主矢量；第二式表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号;第三式表示从A到B边界上面力对B点

7、的力距，图中以顺时针向为正。因此，可以按物理意义直接求和。边界条件⑷由式(i)的第三式，可求出边界点的值;由式(i)的前两式，可求出边界点的，值，然后再求出边界外一行虚结点的值。边界条件（2）由边界结点的，值，求出边界外一行虚结点的值；（1）在边界上选定基点A，令，然后计算边界上各结点的，，；求解步骤4.应力函数差分解的步骤（4）求出边界外一行虚结点的值；（3）对边界内所有结点列式(e)的方程，联立求各结点的值；求解步骤（5）按式(d)求各结点的应力。思考题1，将应力函数　看成是覆盖于区域A和边界s上的一个曲面，则在边界上，各点的　值与从