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1、用位移变分法求解问题一求解问题：铅直平面内的正方形薄板，边长为2a，四边固定，图1，只受重力作用。设μ=0，试取位移分量的表达式为图1Oyaaaax用里兹法或伽辽金法求解（在u的表达式中，布置了因子x和y，因为按照问题的对称条件，u应为x和y的奇函数）。二求解步骤：取坐标如图1所示，位移分量为（1）上述位移分量满足位移边界条件现在，式（1）取各式前两个系数为待定系数，也就是取（2）将式（2）代入式（3），即（3）其中，μ=0，得（4）7因为在这里可得（5）由式（5）得（6）解式（6）得，（7）将式（7）代入式（2）得位移函数（
2、8）将位移函数式（8）代入位移-应力函数中，可得（9）三MATLAB求解应力空间图这里取，由应力函数可7到以下图2，图3，图4。分别代表x方向正应力，y方向正应力，剪应力图2方向正应力图3方向正应力7图4剪应力由应力图很容易观察到图像关于x轴y轴的对称性，对比应力的函数的奇偶对称性正好相对应。图2知x方向的正应力峰值出现在薄板上（±a,±0.5a）；由图3知y方向正应力最大出现在（0，±a）;由图4切应力最大值出现在（±a,0）。其中，三总结创新实践将在弹性力学的不容易求解的问题借助于软件得以实现，一方面，从思维上培养了自己做
3、事情认真严谨的作风；另一方面，从动手能力方面得到提升。创新实践不单单是做一个题目的问题，更加重要的是从做题中在，做到了对理论的复习和提升；做到了对软件的全面掌握，并熟练度得到提高；做到了一种分析问题借，助工具解决问题的能力。7附录：clearclcsymsxyuvaABduxdvyduydvxVpgE;u=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*(x/a)*(y/a)*A;v=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*B;dux=diff(u,x);dvy=diff(v,y);dvx=diff(v,x);duy=
4、diff(u,y);duy=SIMPLIFY(duy);dux=SIMPLIFY(dux);dvy=SIMPLIFY(dvy);dvx=SIMPLIFY(dvx);dux2=dux^2;dvy2=dvy^2;dxy=(dvx+duy)^2;dux2=SIMPLIFY(dux2);dvy2=SIMPLIFY(dvy2);dxy=SIMPLIFY(dxy);ji=dux2+dvy2+0.5*dxy;ji=SIMPLIFY(ji);V=int(int((ji),x,-a,a),y,-a,a);V=SIMPLIFY(V);V=0.5*
5、E*V;m=p*g*int(int((1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2),x,-a,a),y,-a,a);m=SIMPLIFY(m);dva=diff(V,A);dvb=diff(V,B);dva=SIMPLIFY(dva);dvb=SIMPLIFY(dvb);[A,B]=solve('32/1575*E*(18*A-7*B)=0','-32/225*E*(A-30*B)=16/9*p*g*a^2','A','B');A=AB=Bu=(1-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*(x/a)*(y/a)*A;v=(1
6、-x^2/a^2)*(1-y^2/a^2)*B;fx=E*diff(u,x);fy=E*diff(v,y);fxy=0.5*E*(diff(v,x)+diff(u,y));fx=simplify(fx)fy=simplify(fy)fxy=simplify(fxy)7p=1;g=1;a=1;fx=175/1066*(a^2-y^2)*y*p*g*(-3*x^2+a^2)/a^4fy=-450/533*(a^2-x^2)*y*p*g/a^2fxy=-25/2132*x*p*g*(29*a^4-15*y^2*a^2-21*y^2*
7、x^2+7*x^2*a^2)/a^4ezmeshc(fx,[-1,1,-1,1])figureezmeshc(fy,[-1,1,-1,1])figureezmeshc(fxy,[-1,1,-1,1])（3程序运行主要结果A=175/1066/E*p*g*a^2B=225/533/E*p*g*a^2fx=175/1066*(a^2-y^2)*y*p*g*(-3*x^2+a^2)/a^4fy=-450/533*(a^2-x^2)*y*p*g/a^2fxy=-25/2132*x*p*g*(29*a^4-15*y^2*a^2-21*y
8、^2*x^2+7*x^2*a^2)/a^477
