《弹性力学》第十章变分法

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1、第十章能量原理与变分法弹性理论问题需要解一系列偏微分方程组，并满足边界条件，这在数学上往往遇到困难。因此需要寻求近似的解法。变分法的近似解法是常用的一种方法。在数学上，变分问题是求泛函的极限问题。在弹性力学里，泛函就是弹性问题中的能量（功），变分法是求能量（功）的极值，在求极值时得到弹性问题的解，变分问题的直接法使我们比较方便地得到近似解。本章首先给出计算形变势能的表达式。利用功与能的关系，主要介绍了位移变分法和应力变分法。1能量原理与变分法第十章能量原理与变分法§10-1弹性体的变形比能与形变势能§10-3位移变分法§10-4应力变分方程与应力变分方

2、法1§10-2位移变分方程与极小势能原理能量原理与变分法§10-1弹性体的变形比能与形变势能一变形比能在复杂应力状态下，设弹性体受有全部六个应力分量。根据能量守恒定理，形变势能的多少与弹性体受力的次序无关，而完全确定于应力及形变的最终大小。从而有弹性体的形变势能密度或比能：比能用应力分量表示2能量原理与变分法比能用应变分量表示其中因此，我们有比能对应力分量的偏导3能量原理与变分法比能对应变分量的偏导二形变势能由于应力分量和形变分量，进而比能都是位置坐标的函数，所以整个弹性体的形变势能为：将比能的三种表达形式代入，得形变势能的三种积分形式4能量原理与变分

3、法将几何方程代入，形变势能还可用位移分量来表示5能量原理与变分法一变分及其性质高等数学我们学过微分的概念，微分是变量的增量。那么什么是变分呢？变分是函数的增量，通常用δ表示。变分具有以下的性质：§10-2位移变分方程与极小势能原理6能量原理与变分法二位移变分方程设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为u,v,w，它们满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。现在假设位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变（虚位移）δu、δv、δw，这时外力在虚位移上作虚功，虚功应和变形能泛函的增加相等，即这个方程就是所

4、谓位移变分方程。其中X,Y,Z为体力分量，为面力分量。7能量原理与变分法三极小势能原理由于虚位移是微小的，因此在虚位移的过程中，外力的大小和方向可以当做保持不便，只是作用点有了改变。利用变分的性质，位移变分方程可改写为：设外力势能为则该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能为极值。如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又称为极小势能原理。8能量原理与变分法显然，实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移表示的平衡方程和应力边界条件；现在又看到

5、，实际存在的位移，除了满足位移边界条件外，还满足位移变分方程。而且，通过运算，还可以从位移变分方程导出用位移表示的平衡微分方程和应力边界条件。于是可见：位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。9能量原理与变分法§10-3位移变分法其中u0,v0,w0为设定的函数，它们的边界值等于边界上的已知位移；um、vm、wm为边界值等于零的设定函数，Am、Bm、Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现。先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据极小势能原理，决定这些系数。取位移分量的表达式如下：一瑞次法10能量原理与变

6、分法应变能的变分为外力势能的变分为位移分量的变分是11能量原理与变分法中，得到上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种方法称为瑞次法。代入12能量原理与变分法二伽辽金法将变分看做形变分量的函数，则由于所以应用奥高公式，对上式中的第一项，我们有13能量原理与变分法对于其余各项也进行同样的处理，则将上式代入位移变分方程，并归项得14能量原理与变分法如果应力边界条件得到满足，则上式简化为这就是位移分量满足位移边界条件及应力边界条件时，位移变分所应满足的方程，称为伽辽金变分方程。15能量原理与变分法若取位移分量

7、的表达式如下：使得位移边界条件和应力边界条件都得到满足，则将位移变分代入伽辽金方程，就得到16能量原理与变分法由于的任意性，它们的系数应当分别为零于是得将上列三方程中的应力分量通过物理方程用形变分量表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即得：17能量原理与变分法这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种方法称为伽辽金法。要注意的是：用位移变分法求位移分量，只须取几项就可达到较高的精度，然而由此求出的应力却很不精确。为了求得的应力充分精确，必须取更多的项。18能量原理与变分法三应用与举例将位移变分

8、法应用于平面问题，瑞次法和伽辽金法都将得到简化。由于两种平面问题都不必考虑z方向的位移w，且u