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1、§5-4弹性体的形变势能和外力势能1.弹性力学问题的微分提法及其解法：求解方法：从研究微小单元体入手，考察其平衡、（1）按位移求解变形、材料性质，建立基本方程：基本方程：（1）平衡微分方程（a）以位移为基本未知量σ+X=0的平衡微分方程;ij,ij（b）边界条件。（2）几何方程（2）按应力求解1定ε=(u+u)基本方程：iji,jj,i解2（a）平衡微分方程；问（3）物理方程（b）相容方程；题εij=1[](1+μ)σij−μσkkδij（c）边界条件。E求解特点：（4）边界条件（a）归结为求解联立的微分σn=
2、Xu=u方程组；ijijii（b）难以求得解析解。应力边界条件；位移边界条件。2.弹性力学问题的变分提法及其解法：直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立一些泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极（驻）值的变分问题。基本思想：在所有可能的解中，求出最接近于精确解的解；将定解问题转变为求解线性方程组。弹性力学中的变分原理——能量原理（变分解法也称能量法）（a）以位移为基本未知量，得到最小势（位）能原理等。——位移法（b）以应力为基本未知量，得到最小余能原理等。——力法（c）同时以位移、
3、应力、应变为未知量，得到广义（约束）变分原理。求解方法：——混合法里兹（Ritz）法，伽辽金（Galerkin）法，加权残值（余量）法等。——有限单元法、边界元法、离散元法等数值解法的理论基础。3.弹性力学问题的数值解法：（a）直接求解联立的微分方程组（弹性力学的基本方程）基本思想：将导数运算近似地用差分运算代替；将定解问题转变为求解线性方程组。实质：将变量离散。——有限差分法；典型软件：FLAC（b）对变分方程进行数值求解基本思想：将求解区域离散，离散成有限个小区域（单元），在小区域（单元）上假设可能解，最后
4、由能量原理（变分原理）确定其最优解。——将问题转变为求解大型的线性方程组。——有限单元法、边界单元法、离散单元法等典型软件：ANSYS，MARC，ADINA，SAP，NASTRAN，ABAQUS等；——基于有限元法的分析软件；UDEC——基于离散元法的分析软件；1.P形变势能的一般表达式l0单向拉伸：P1外力所做的功：W=PΔl2由于在静载（缓慢加载）条件下，Δl其它能量损失很小，外力功全部转化杆POΔlΔl件的形变势能（变形能）U：x三向应力状态：11PΔlU=W=PΔl=(lA)一点的应力状态：22Alσ,
5、σ,σ,τ,τ,τxyzyzzxxy1=σε(lA)σxxz2τzyτzxτ杆件的体积yx1σy令：U1=σxεxτxy2ττxzyz——单位体积的变形能，称为比能。σxσz三向应力状态：τzyτzxσ,σ,σ,τ,τ,τ一点的应力状态：xyzyzzxxyτyxσy由能量守恒原理，形变势能的值与弹性体受力的次序τxy无关，只取决于最终的状态。ττxzyz假定所有应力分量与应变分量全部按同样的比例增加，σx此时，单元体的形变比能：111111U=σε+σε+σε+++τγτγτγ1xxyyzzyzyzzxzxxy
6、xy2222221=(σε+σε+σε+τγ+τγ+τγ)2xxyyzzyzyzzxzxxyxy（a）对于平面问题，τyz=0,τzx=0。在平面应力问题中，σz=0；在平面应变问题中，εz=0。因此，1U=+()σεσετγ+1xxyyxyxy（b）2整个弹性体的形变势能：1U==+∫∫AAUdxdy1∫∫()σεσετγxxyy+xyxydxdy（c）22.形变势能的应变分量表示在线弹性的情况下，由物理方程（2-16）：Eσ=(ε+με)x2xy1−μEσ=(ε+με)（d）y2yx1−μEτ=γxyxy2
7、(1+μ)代入式（b），整理得：E⎡⎤221−μ2U=+εεμ+2εε+γ12(1−2)⎢⎥⎣⎦xyxy2xy（e）μ从而，E⎡⎤221−μ2U==Udxdyεεμ++2εε+γdxdy∫∫AA1∫∫2⎢⎥xyxyxy2(1−μ)⎣⎦2将式（e）分别对3个应变分量求导，并将其结果与物理方程(d)比较，得：∂U1∂U1∂U1=σ,=σy,=τyz（5-15）x∂ε∂εy∂γyzx表明：弹性体的比能对于任一应变分量的改变率，就等于相应的应力分量。3.形变势能的位移分量表示只需将几何方程代入式(e)，得：E⎡⎤∂∂∂
8、uvu22∂−v1μ∂u∂v2U1=+2⎢⎥()()2+μ+(+)（f）2(1−∂∂∂μ)⎣⎦xyx∂y2∂x∂yEuvu⎡⎤∂∂∂22∂−v1μ∂u∂v2Ud=+⎢⎥()()2+μ+(+)xdy∫∫A2(1−∂∂∂2)⎣⎦xyx∂y2∂x∂yμ（5-16）在上式中，只要将弹模、泊松比代换，即可得到平面应变中的相应公式。由式(e)和(f)可知，形变势能是应变分量或位移分量的二次泛函。因
