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《§43三角函数的图像与性质（教师）.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§4.3三角函数的图像与性质基础自测1.①在(0,)上递减；②以2为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数（写出一个你认为正确的即可）.答案y=-sinx2.（2009·东海高级中学高三调研）将函数y=sin的图象先向左平移,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为.答案y=sin3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是.答案54.函数y=
2、sinx
3、的一个单调增区间是（写出一个即可）.答案5.（2008·全国Ⅱ理）若
4、动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则
5、MN
6、的最大值为.答案例题精讲例1求下列函数的定义域：（1）y=lgsin(cosx);(2)y=.解（1）要使函数有意义，必须使sin(cosx)＞0.∵-1≤cosx≤1,∴0＜cosx≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x
7、-+2k＜x＜+2k,k∈Z}.方法二利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0＜OM≤1,∴OM只能在x轴的正半轴上，∴其定义域为.（2）要使函数有意义，必须使sinx-cosx≥0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=
8、sinx和y=cosx的图象，如图所示.在［0，2］内，满足sinx=cosx的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2,所以定义域为.方法二利用三角函数线，如图MN为正弦线，OM为余弦线，要使sinx≥cosx,即MN≥OM，则≤x≤（在［0，2］内）.∴定义域为方法三sinx-cosx=sin≥0，121将x-视为一个整体，由正弦函数y=sinx的图象和性质，可知2k≤x-≤+2k,解得2k+≤x≤+2k,k∈Z，所以定义域为.例2求下列函数的值域：（1）y=;(2)y=sinx+cosx+sinxcosx;(3)y=2cos+2cosx.解（1
9、）y===2cos2x+2cosx=2-.于是当且仅当cosx=1时取得ymax=4,但cosx≠1,∴y＜4，且ymin=-,当且仅当cosx=-时取得，故函数值域为.（2）令t=sinx+cosx,则有t2=1+2sinxcosx,即sinxcosx=.有y=f(t)=t+=.又t=sinx+cosx=sin，∴-≤t≤，故y=f(t)=(-≤t≤),从而知：f(-1)≤y≤f(2),即-1≤y≤+，即函数的值域为.（3）y=2cos+2cosx=2coscosx-2sinsinx+2cosx=3cosx-sinx=2=2cos.∵≤1，∴该函
10、数值域为［-2，2］.例3求函数y=2sin的单调区间.解方法一y=2sin化成y=-2sin.∵y=sinu(u∈R)的递增、递减区间分别为（k∈Z),(k∈Z)∴函数y=-2sin的递增、递减区间分别由下面的不等式确定2k+≤x-≤2k+（k∈Z),即2k+≤x≤2k+（k∈Z)，2k-≤x-≤2k+（k∈Z),即2k-≤x≤2k+（k∈Z)∴函数y=2sin的单调递减区间、单调递增区间分别为121（k∈Z),（k∈Z)方法二y=2sin可看作是由y=2sinu与u=复合而成的.又∵u=为减函数，∴由2k-≤u≤2k+（k∈Z),-2k-≤x≤
11、-2k+(k∈Z).即（k∈Z）为y=2sin的递减区间.由2k+≤u≤2k+(k∈Z),即2k+≤-x≤2k+(k∈Z)得-2k-≤x≤-2k-(k∈Z),即（k∈Z)为y=2sin的递增区间综上可知：y=2sin的递增区间为（k∈Z）；递减区间为（k∈Z）巩固练习1.求f(x)=的定义域和值域.解由函数1-cos≥0,得sinx≤,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是Z.当sinx=cos=时，ymin=0;当sinx=cos=-1时，ymax=.所以函数的值域为［0，］.2.已知函数f(x)=,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶
12、性.解由题意知cos2x≠0，得2x≠k+，解得x≠（k∈Z）.所以f(x）的定义域为R回顾总结知识方法思想课后作业Z.又f（x)===cos2x-1=-sin2x.又定义域关于原点对称，∴f（x）是偶函数.显然-sin2x∈［-1，0］，但∵x≠,k∈Z.∴-sin2x≠-.121所以原函数的值域为.3.（1）求函数y=sin的单调递减区间；（2）求y=3tan的周期及单调区间.解（1）方法一令u=,y=sinu，利用复合函数单调性，由2k-≤-2x+≤2k+(k∈Z),得2k-≤-2x≤2k+（k∈Z),-k-≤x≤-k+(k∈Z),即k-≤x
13、≤k+（k∈Z).∴原函数的单调递减区间为(k∈Z).方法二由已知函数y=-sin,欲求函数的单调递减区间，只需求y=si
