高等数字信号处理 教学课件 作者 吴正国 尹为民 第2章 现代谱估计.ppt

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1、第二章现代谱估计现代谱估计概述AR模型谱估计线性预测Burg算法ARMA模型谱估计扩展Prony方法多重信号分类(MUSIC)法2.1现代谱估计概述经典谱估计的主要问题基于信号参数模型的谱估计方法2.2AR模型谱估计AR模型的正则方程Levinson-Durbin算法AR谱估计的自相关法AR模型阶次的选择AR模型谱估计的性质2.2.1AR模型的正则方程假定、都是实平稳的随机信号，为白噪声，方差为，为服从AR过程的因果信号。由AR模型的差分方程，有将上式两边同乘以，并求均值，得2.2.1AR模型的正则方程(a)式中，为AR模型的单位取样响应。由z变换的性质，当时，有。将之代入上

2、式，有(b)2.2.1AR模型的正则方程综合式(a)与式(b)，有在上述推导中，应用了实信号自相关函数的偶对称性，即。由上式可得个方程，写成矩阵形式为2.2.1AR模型的正则方程上述两式即为AR模型的正则方程，又称Yule-Walker方程。2.2.1AR模型的正则方程需要指出的是，上式中的自相关矩阵为Toeplitz矩阵；若是复过程，那么，则其自相关矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。这类矩阵具有一系列好的性质，利用这些性质，可以找到快速求解AR模型参数的高效算法。2.2.2Levinson-Durbin算法Levinson-Durbin递推算法是求解Yul

3、e-Walker方程的快速有效算法，这种算法利用了方程组系数矩阵（自相关矩阵）所具有的一系列好的性，使运算量大大减少。其推导的方法有多种，这里只介绍一种较为简便的推导方法。设已求得阶Yule-Walker方程2.2.2Levinson-Durbin算法(a)2.2.2Levinson-Durbin算法的参数，要求解的m阶Yule-Walker方程为2.2.2Levinson-Durbin算法(b)2.2.2Levinson-Durbin算法为此，将式(a)的系数矩阵增加一行和增加一列，成为下式：2.2.2Levinson-Durbin算法(c)2.2.2Levinson-Du

4、rbin算法式中利用前述的系数矩阵的特点，将式(c)的行倒序，同时列也倒序，得到2.2.2Levinson-Durbin算法(d)2.2.2Levinson-Durbin算法将待求解的m阶Yule-Walker方程表示成式(c)和式(d)的线性组合形式，即(e)2.2.2Levinson-Durbin算法或式中，是待定系数，称为反射系数。式(e)两边各右乘以m阶系数矩阵，得到(f)2.2.2Levinson-Durbin算法由式(f)可求出由式(c)的第一个方程可求出从上面的推导中可归纳出由m-1阶模型参数求m阶模型参数的计算公式如下：2.2.2Levinson-Durbin

5、算法对于AR(p)模型，递推计算直到p阶为止。2.2.3AR谱估计的自相关法已知N点观测数据和AR的阶数p，则AR谱估计可按下述步骤来进行：由已知的估计令2.2.3AR谱估计的自相关法用代替L-D递推算法式中的，对于，重新求解Yule-Walker方程，这时求出的AR模型参数是真实参数的估计值，即和将这些参数代入下式，得到的功率谱的估计，即2.2.3AR谱估计的自相关法若在（0，2π）内对进行N点均匀抽样，则得到离散谱式中，。2.2.4AR模型阶次的选择FPE准则（最终预测误差准则）随着m的增加，使达到最小值时的。AIC准则（信息论准则）前者表征将随着m的增加而单调下降，后者

6、表示计算误差将随着m的增加而增长。2.2.5AR模型谱估计的性质平滑特性2.2.5AR模型谱估计的性质频率分辨率AR谱估计的频率分辨率，要优于经典谱估计方法。其原因在于求解AR模型参数的过程，实际上意味着将根据估计的按一定准则进行了外推。AR谱的匹配性质2.3线性预测前向线性预测后向线性预测格形滤波器2.3.1前向线性预测已知n时刻以前的m个信号数据，用这m个数据来线性预测n时刻信号的值，如图所示，预测值为式中，上标f表示前向预测。2.3.1前向线性预测其预测误差为(a)——称此预测器为m阶前向线性预测器。令，由此解得将式(a)代入上式，得2.3.1前向线性预测(b)由最小均

7、方误差的表达式及正交性原理可知(c)联立式(b)与式(c)得2.3.1前向线性预测(d)——前向线性预测的Wiener-Hopf方程解此方程则得m阶线性预测器的最佳参数及。2.3.1前向线性预测上式与AR模型参数的正则方程式极其相似，若令，则有，成立。这说明，对于同一个p阶的AR随机信号，其AR模型和同阶的最佳线性预测器模型是等价的。所以有(f)即p阶线性预测器的输出是一个白噪声序列。2.3.1前向线性预测结论：对于给定的随机信号，若其最佳前向线性预测器的阶次等于的AR模型阶次时，其前向线性预测误差为白