高等数字信号处理 教学课件 作者 吴正国 尹为民 第6章2.ppt

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1、第二节多尺度分析与滤波器组一、多尺度分析(MultiresolutionAnalysis，MRA)⒈引入：定义具有相同尺度(2的j次方)的阶梯逼近信号的集合为j尺度空间不同尺度分析将具有不同的时间分辨率。尺度j越大，分辨率越低。f(t)在正交补空间的投影⒉、MRA的定义：闭子空间序列①单淍性(包容性)②逼近性③伸缩性④平移不变性⑤Riesz基的存在性规范条件MRA的生成元⒊空间的分解①尺度空间(ScalingSpace)MRA的生成元＜＝＝＞尺度函数(ScalingFunction)j尺度空间由MRA的定义可知，相邻尺度空间为包容关系在j尺度空间的投影为随着j的增加，它越来越只反映f

2、(t)的概貌信息②小波空间(WaveletSpace又称细节空间)j尺度空间的正交补空间＜＝＝＞j尺度小波空间相邻小波空间之间是正交关系细节信息将属于细节空间生成元至少构成平方可积空间的半正交基③平方可积函数空间的分解4、双尺度方程(Two-ScaleRelation)①时域关系②频域关系③双尺度序列(Two-ScalingSequence)若生成元是紧支集的，则双尺度序列为有限长度。若生成元为实函数，则双尺度序列为实序列。二、标准正交基⒈标准正交基及其等价条件①MRA中正交基的存在性－－－＞存在一个唯一函数：使得为j尺度空间的正交基。可由该MRA的生成元(Riesz基)按下述方法生

3、成②标准正交基的等价条件a.是零尺度空间的标准正交基；零尺度空间的正交基由生成元的整数平移系构成规范条件由规范条件还可推出正交生成元的单位划分性质(引用Poisson公式)b.其证明类似零尺度整数平移正交性等价条件的证明是A=B=1的特例，所以正交基是A=B=1时的框架由规范条件知，k≠0时有所以正交生成元φ(t)为连续低通滤波函数ω=0c、因为ω为连续变量，上式常写为如下形式它是构造二进小波的低通滤波器的特例(数字低通滤波器)③证明：奇偶数分开并利用H(ω)的周期性即可得证⒉标准正交基对双尺度序列的约束①低通滤波器的约束②偶平移正交条件：⒊构造正交小波基的基本定理①定理设φ(t)是

4、多尺度分析的生成元，并满足:零尺度空间的正交基为存在双尺度序列，使以下双尺度方程成立现令则有如下结论成立:A、j尺度小波空间的正交基为B、对所有整数j有C、对所有整数j有如下结论成立D、构成平方可积空间的正交基②证明:关键是证明结论A、B、C结论A将中间和式中的k按奇偶项分开即可得以零尺度空间为例，证结论B将n奇偶分开并考虑:若需证结论C，只需证明(j-1)尺度空间的正交基为j尺度空间及j小波空间正交基的线性组合即可，即③说明：MRA生成元的整数平移系为零尺度空间的正交基，则按此定理必构成正交小波基φ(t)又称为尺度函数，ψ(t)为小波函数对此小波函数也可定义如下双尺度序列对此G(ω

5、)显然满足如下等式:G(ω)为高通滤波器构成的正交小波基不唯一推论:(偶平移正交性)⒋Riesz小波基若MRA的生成元仅为Riesz函数，即它的整数平移系仅为零尺度空间的Riesz基，则按上一节二进小波的构造方法可构造Riesz小波基⒌正交小波基的基本关系式FF三、多取样率滤波器组(MultirateFilterBanks)⒈多取样率信号处理的基本关系(ΩT=ω)①二倍再取样(DecimationbyanIntegerFactor2)时域关係：Z域关係：频域关係：证明：令二倍再取样使尺度加倍；时间分辨率下降一半；信息量损失一半；有限长度序列长度也减小一半。可能会造成频城混迭失真。②二

6、倍内插零时域关係：Z域关係：频域关係：二倍内插零使尺度减半；信息量不变；时间分辨率不变；有限长度序列长度加倍。不会造成频域混迭。尺度、长度不变；信息量不变。尺度、长度不变；信息量减半、可能混迭失真③级联④等效易位⒉双通道滤波器组及完全重构(PR)条件①滤波器组：具有一个共同的输入(或一个共同的输出)的一组滤波器。分析滤波器组——————→共同的输入综合滤波器组——————→共同的输出②双通道滤波器组的完全重构条件(PerfectReconstruction简记PR条件)欲需完全重构，则应有抗混迭条件纯延迟条件③抗混迭条件对滤波器的约束令频域、时域等价关係为：令由于中无奇次项，所以有：

7、中无偶次项所以，不同支路上的分析、综合滤波器之间是相互偶平移正交的。系统在PR条件下的传递函数④纯延迟条件对滤波器的约束由于上式中k必为偶数，所以有⒊共轭镜像正交滤波器组为了将滤波器组与小波变换相联系，讨论共轭镜像正交滤波器组。①定义：分析(或综合)滤波器之间关于ω=π/2共轭镜象对称，即滿足正交小波条件②对滤波器的约束(以分析滤波器为例)由抗混迭条件、纯延迟条件可得:③结论：与正交尺度函数φ(t)和正交小波函数ψ(t)相联系的H(ω)和G(ω)正好构成共