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1、第七章 功率谱估计的现代方法——现代谱估计1经典谱估计以傅立叶变换为基础，具有计算效率高的优点，但是由于将未观测数据认为0和数据加窗，而具有频率分辨率低、旁瓣泄漏等严重的缺陷。现代谱估计与经典谱估计不同，它以参数模型为基础，能够得到小方差和高分辨率，特别是数据长度很短的情况，更具优势。§7.1概述2现代谱估计法的基本思想：处理步骤：1确定或选择一个合适的模型—依赖于对所研究随机过程进行理论分析和实验研究；2根据观测数据估计模型参数—涉及各种算法的研究；3由模型参数计算功率谱。关键1、模型选择问题（AR，MA，AR
2、MA）2、参数确定方法（导致产生了各种算法）3§7.2自回归模型(AR)谱估计数字系统的数学模型:有理分式传递函数的模型如下图：w(n)x(n)式中ak为自回归系数，称为AR系数；bk为滑动平均系数，称为MA系数。模型传递函数为：4有理分式传递函数的模型的差分方程为：令a0=1有：w(n)为高斯白噪声，5求功率谱的实质变为确定系统参数的问题模型的功率谱密度：即系统输出功率谱和输入功率谱之间关系为（假定h(n)为实序列）：6如果除b0外其它的MA系数都等于0，即AR（p）模型全极点模型7自回归模型8如果除a0外其它
3、的AR系数都等于0，即全零点模型MA（q）模型9如果除a0=1和b0=1外其它的AR系数和MA系数都不全等于0，即称为ARMA（p,q）模型，即极点-零点模型。10到底选择什么模型？三种模型之间关系如何？—Word分解定理Wold分解定理：任何一个有限方差的平稳ARMA过程可以分为完全随机的部分和确定的部分。推论：任何有限方差的ARMA或MA平稳过程可以用一个无限阶的AR模型表示；同样，任何ARMA或AR模型可以用一个无限阶的MA模型表示。因此，如果在这三个模型中选了一个与信号不匹配的模型，利用高的阶数仍然可以得
4、到对信号的好的逼近。11结论：由于对AR模型参数的估计，得到的是线性方程。故AR模型比ARMA以及MA模型有计算上的优点，即只需解一组线性方程，而ARMA或MA模型一般需要解一组非线性方程。同时，实际的物理系统往往是全极点系统。AR模型得到了深入的研究和广泛的应用。12已知：自相关函数要求：AR模型的阶数p，以及p个AR参数a(i),激励源方差Yule-Walker方程§7.3AR模型的Yule-Walker方程137.3.1Yule-Walker方程的推导1.对进行求逆z变换2.直接由模型差分方程推导，把模型的
5、差分方程代入x(n)的自相关函数14如何根据自相关函数确定系统参数15可见，AR模型输出信号的自相关函数具有递推性质，即：Yule-Walker方程（Y-W方程）16选择m>0的前P个方程并写成单一正规矩阵的形式为：以上利用了自相关函数的偶对称性。Y-W方程表明：只要已知输出平稳随机信号的自相关函数，就能求出AR模型中的参数{ak}，并且需要的观测数据较少。17AR模型谱估计N个样值x(0),x(1)…x(N)自相关函数R(0),R(1)..R(N)AR模型参数和a1,a2，…，ap激励源方差功率谱密度Y-W方程
6、18Yule-Walker方程的求解1、采用高斯消元法，解线性方程组常用方法，运算量数量级为p的三次方。2、用Levinson-Durbin算法，Y-W方程的高效解法，即按阶次进行递推运算量数量级为p的二次方。7.3.2Levinson-Durbin算法19Levinson-Durbin递推算法：算法的关键就是要推导出由第K阶AR模型的参数计算第k+1阶AR模型AR(k+1)参数的迭代计算公式。首先以AR(0)和AR(1)模型参数作为初始条件，计算AR(2)模型参数，然后根据这些参数计算AR(3)模型参数，等等，
7、一直到计算出AR(p)模型参数为止。202122递推公式为：其中akk称为反射系数将所估计的模型参数代入即可计算功率谱估计值：23AR模型参数和a1,a2，…，ap激励源方差功率谱密度AR模型谱估计24给定初始值和AR模型的阶数p，可按照L-D算法流程进行估计，流程终止规则为或MATLAB里有专门实现L-D算法的函数可估计AR模型参数：[aE]=aryule(x,p),a为模型参数，E为噪声方差。※分析：⑴AR模型的稳定性；⑵L-D算法的收敛性。25AR模型谱估计的L-D算法流程Ⅰ、给定N个观察数据xN(n),n
8、=0,1,…,N-1;Ⅱ、由xN(n)估计自相关函数值，m=0,1,…,p;Ⅲ、利用L-D递推算法，根据计算AR模型参数的估计值。首先令p=1，按下式计算a11和然后，使p=p+1,按下式计算app,api,Ⅳ、重复以上递推过程，直到满足p=m或者。Ⅴ、代入计算公式估计功率谱。26例7-1、已知实数据序列的自相关为：用Levinson-Durbin递推算法求AR模型的参量
