《现代谱估计》PPT课件

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1、现代功率谱估计电子与信息工程学院谢志远12.1平稳随机信号的参数模型引言由第11章的讨论可知，经典功率谱估计方法的方差性能较差，分辨率较低。方差性能差的原因是无法实现功率谱密度原始定义中的求均值和求极限的运算。分辨率低的原因，对周期图法是假定数据窗以外的数据全为零，对自相关法是假定在延迟窗以外的自相关函数全为零。当然，这种假定是不符合实际的。正是由于这些不符合实际的假设产生了经典谱估计较差的分辨率。现代谱估计技术的目标都是旨在努力改善谱估计的分辨率。参数模型法是现代谱估计的主要内容，也是本章讨论的主题。参数模型法的思路是：①假定所研究的过程x(n)是

2、由一个输入序列u(n)激励一个线性系统H(z)的输出，如图12．1．1所示．②由已知的x(n)，或其自相关函数rx(m)来估计H(z)的参数。③由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。对一个研究对象建立数学模型是现代工程中常用的方法，它一方面使所研究的对象有一个简洁的数学表达式，另一方面，通过对模型的研究，可得到更多的参数，也可使我们对所研究的对象有更深入的了解。在图12．1中，H(z)是一个因果的线性移不变离散时间系统，当然，它应该是稳定的，其单位抽样响h(n)是确定性的。输出序列x(n)可以是平稳的随机序列，也可以是确定性的时间序列。若x(n)是

3、确定性的，那么u(n)是一个冲激序列，若x(n)是随机的，那么u(n)应是一个白噪声序列。不论x(n)是确定性信号还是随机信号，对图12．1．1的线性系统，u(n)和x(n)之间总有如下的输入、输出关系：假定u(n)是一个方差为σ2。的白噪声序列，如果激励白噪声的方差σ2。及模型的参数a1，a2，…，ap，b1，b2，…，bq已知，那么由上式可求出输出序列x(n)的功率谱。讨论:此三式给出的模型称为自回归(auto-regressive)模型，简称AR模型，它是一个全极点的模型。“自回归"的含意是：该模型现在的输出是现在的输入和过去p个输出的加权和。

4、此三式给出的模型称为移动平均(moving-average)模型，简称MA模型，它是一个全零点的模型。③若a1，a2，…，ap，b1，b2，…，bq不全为零，则(12.1.1)式给出的模型称为自回归-移动平均模型，简称ARMA模型。显然，ARMA模型是一个既有极点、又有零点的模型。工程实际中所遇到的功率谱大体可分为三种，“平谱”，即白噪声的谱；“线谱”，这是由一个或多个纯正弦所组成的信号的功率谱。介于二者之间的是既有峰点又有谷点的谱称为“ARMA”谱。由于ARMA模型是一个极-零模型，它易于反映功率谱中的峰值和谷值。不难想象，AR模型易反映谱的中峰值

5、，而MA模型易反映谱中的谷值。AR，MA和ARMA是功率谱估计中最主要的参数模型。AR模型的正则方程是一组线性方程，MA和ARMA模型是非线性方程。由于AR模型具有一系列好的性能，因此，是被研究最多并获得广泛应用的一种模型。本章将较为详细地讨论AR模型参数的计算、谱的性能及与其它算法(如线性预测，最大熵谱估计等)的关系。在最后给出MA模型及ARMA模型谱估计算法。12．2AR模型的正则方程与参数计算假定u(n)、x(n)都是实平稳的随机信号，u(n)为白噪声，方差为σ2，现在，我们希望建立AR模型的参数ak和x(n)的自相关函数的关系，也即AR模型的

6、正则方程(normalequation)。将方程(12.1.6)两边同乘以x(n+m)，并求均值，得(12.1.6)上述两式即是AR模型的正则方程，又称Yule—Walker方程。系数矩阵不但是对称的，而且沿着和主对角线平行的任一条对角线上的元素都相等，这样的矩阵称为Toeplitz矩阵。若x(n)是复过程，那么rX(m)=rX*(-m)，系数矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。线性预测与AR模型的关系设x(n)在n时刻之前的p个数据{x(n-p)，x(n-p+1)，…，x(n-1)}已知，我们希望利用这p个数据来预测n时刻的值x(n

7、)。预测的方法很多，现在我们用线性预测的方法来实现。记是对真实值x(n)的预测，那么根据正交原理，为求得使ρ最小的αkk=1,2,…p，应使x(n-p)，…，x(n-1)和预差误差序列e(n)正交，即方程称为线性预测的Wiener-Hopf方程。将这两个方程和AR模型的正则方程相比较，可以看出它们极其相似。因为x(n)是同一个随机信号，若线性预测器的阶次和AR模型的阶次一样，那么，必然有上面两式说明，一个p阶AR模型的p+1个参数(σ2，a1，…，ap)同样可用来构成一个p阶的最佳线性预测器。该预测器的最小均方误差ρmin等于AR模型激励白噪声的能量

8、(方差σ2)。反过来，若要求一AR模型的输出是同阶预测器所预测的x(n)，那么该AR模型的系数应是线性预测器