功率谱估计现代方法

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1、第四章功率谱估计的现代方法4.1从经典谱估计到现代谱估计4.2谱估计的参数模型方法4.3AR模型的Yule-Walker方程4.4Levinson-Durbin算法4.5AR模型的稳定性及其阶的确定4.6AR谱估计的性质4.7格型滤波器4.8AR模型参数提取方法4.9AR谱估计的异常现象及其补救措施4.10MA和ARMA模型谱估计4.11白噪声中正弦波频率估计4.1功率谱估计的经典方法一、功率谱概念：一个离散平稳随机过程，在时域用自协方差序列或者自相关序列描述。在频域中，是用功率谱来描述的。功率谱反映随机过程

2、的功率密度随频率变化的规律。——功率密度谱而实际中，我们只能观测到有限个数据，它们往往是随机过程的一个取样序列中的一般数据，我们必须根据这些数据来估计随机过程的功率谱，也就是说从有限长信号中估计出来。二、估计理论中的几个基本概念设a是广义平稳随机信号x(n)的一个特征量（可以是均值方差，自相关出数or功率谱）。是我们得到的估计值，也是一个随机变量，那么对a估计的质量（近似程度）可以从以下一个方面考虑：1.估计的偏差（也叫偏倚）用B表示定义为：表示估计量的均值与真值a之差。若B=0的估计为无偏估计，反之为有偏估

3、计若为渐近无偏估计（N为观测数据的个数）。我们总希望，估计是无偏的or渐近无偏的是高质量的估计。2.估计方差表示各次估计值相对估计均值的分散程度。方差小意味着单次估计的结果为估计量的均值的概率大。它与估计的偏差不同，若是无偏的，则说明单次估计取真值的概率大，也只有小方差无偏估计的质量好。B和要同时考虑。3.估计的均方误差定义：不难证明，我们认为均方误差较小的估计，质量更好些。若有：，称是a的一致估计，显然一致估计包含了偏差和方差都渐近0。功率谱估计的方法很多，但分为二类：一类是经典法，另一类是现代方法经典方法

4、主要包括有自相关法（也称间接法）和周期图法（又称直接法）下面分别简单说明一下。三、自相关法：（理论基础是维纳——率钦定理）即：对于一平稳离散随机信号来说，它的自相关函数与它的功率谱之间构成一对付里叶变换：若x(n)是各态遍历的，其自相关函数可由它的一个取样时间序列用时间平均的方法求出，即：在大多数应用中，x(n)是实信号：（*共轭）一般只能观测到随机信号一个取样时间序列的有限个取样值（例如N个值），表示为：自相关函数只能由这N个取样数据来估计，自相关法是常用的一种估计方法。自相关法步骤：首先由估计出再对求其傅

5、立叶变换，即得x(n)的功率谱：可以证明，对于固定延迟，的一致估计。四、周期图——直接法由式可见：式子右端，实际上是x(n)与x(-n)的卷积运算，若x(n)的傅立叶变换为，则x(-n)的傅立叶变换为对上式两端去傅立叶变换：将上式的在单位圆上等间隔取值得：简记为：可以用FFT快速计算——周期图法。五、经典法的缺点不管数据记录多长（N多大），周期图法和自相关法都不是功率谱的良好估计，主要因为存在以下两个难以克服的固有缺点：⒈频率分辨率不高（频率分辨率是指区分两个邻近频率分量的能力）因为：频率分辨率（Hz）反比于

6、数据记录持续时间（长度，以秒计）。而实际中，不可能获得长的数据记录。2.经典法都是取一个长为N的取样序列，除此之外的序列值都看成0，相当于在进行FFT前对无限长的数据序列进行了加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。我们知道：矩形窗的频谱主瓣不是无限窄，且有旁瓣存在，这就造成了能量向旁瓣中“泄漏”，且使分辨率降低，产生假的谱峰。尽管有三种改进方法（Bartlett法、Welch法和Nattall法）仍不能从根本上解决问题，这也促进了功率谱估计现代方法的研究和应用。现代谱估计技术始于60年代，有自回归法（AR）、线

7、性预测法（LP）和最大熵（ME）法等三种互相等效的方法和最大似然法（ML法）。目前现代谱估计研究仍侧重于一维谱分析，其它如多维谱估计，多通道谱估计，和高阶谱估计等的研究正在兴起，理论也在不断完善和发展中。4.2谱估计的参数模型方法通常人们或多或少地掌握了关于被估计过程的某些先验知识，从而有可能对这做出某些合理的假定。例如为它建立一个准确或至少近似的模型，而不必象经典谱估计法那样认为凡未观测到的数据等于零，这就从根本上丢弃了对数据序列加窗的隐含假设。一、模型法步骤：以参数模型为基础的谱估计方法一般按三个步骤进行

8、：①设模型；②算法；③再计算谱⒈为被估计的随机过程确定一个合理的模型，当然这有赖于对些随机过程的理论分析的实验研究。⒉根据观测数据估计模型的参数各种算法研究。⒊用估计得到的模型参数计算功率谱。（PS）二、模型例如：实际应用中遇到的随机过程大多数可以用有理传输函数模型很好地逼近，如图：线性系统：是前馈（or动平均）支路的系数，又称MA系数。是后馈（or自回归）支路的系数，又称AR系数。该模型的输出和输