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1、数字信号处理(DigitalSignalProcessing)信号与系统系列课程组国家电工电子教学基地离散随机序列的特征描述平稳随机序列通过LTI系统经典功率谱估计现代功率谱估计随机信号的功率谱估计现代谱估计简介问题提出平稳随机信号的参数模型AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的L-D递推算法AR模型参数与线性预测滤波器的关系伯格(Burg)递推算法问题提出经典法存在问题:1.方差性能不好，不是Px(W)的一致估计2.平滑周期图和平均周期图改善了周期图的方差性能，但却降低了谱分辨率和增大了偏差。3.可能使短序列的功率谱估计出现错误的
2、结果出现问题的原因:将观测数据以外的数据一律视为零，与实际不符。参数模型法的基本思想根据所研究信号的先验知识，对观测数据以外的数据作出某种比较合理的假设。假设信号是白噪声通过LTI系统产生的。由观测数据估计LTI系统模型的参数。最后由LTI系统模型的参数得出功率谱。hh[k]y[k]输入白噪声的自相关函数平稳随机信号的参数模型AR模型(AutoRegressivemodel)MA模型(MovingAveragemodel)ARMA模型(AutoRegressive-MovingAveragemodel)若输入白噪声的功率谱则输出序列的功
3、率谱为若能确定模型中各参数{an,bn}和s2就可以求得功率谱Px()平稳随机信号的参数模型AR模型参数与自相关函数的关系描述p阶AR模型的差分方程为将上式两端同乘以y[k-m]再求数学期望AR模型参数与自相关函数的关系由于输入是白噪声信号Rh[n]=s2d[n]对于因果系统,p阶AR模型的自相关函数与模型参数的关系Yule-Walker(Y-W)方程AR模型参数与自相关函数的关系Y-W方程的矩阵表示例:p=3时的Y-W方程若已知Ry[n]，由Y-W方程解出各参数a3(1),a3(2),a3(3),s2。则可由AR模型参数获得功率谱P
4、y()的估计值。Y-W方程的L-D递推算法一阶Y-W方程的解解此方程得Y-W方程的L-D递推算法二阶Y-W方程的解Y-W方程的L-D递推算法p阶Y-W方程的递推解Y-W方程的L-D递推算法(1)计算自相关函数的估计值(2)求解一阶模型参数关函数的估计值L-D算法估计功率谱的步骤(4)求出功率谱估计Y-W方程的L-D递推算法(3)由递推算法求解p阶模型参数L-D算法估计功率谱的步骤利用L-D算法估计频谱的MATLAB函数x：进行功率谱估计的输入有限长序列；p:模型的阶数NFFT：DFT的点数；Fs：绘制功率谱曲线的抽样频率，默认值为1；
5、Pxx：功率谱估计值；f：Pxx值所对应的频率点[Pxx,f]=pyulear(x,p,NFFT,Fs)例：利用L-D算法进行谱估计一序列含有白噪声和两个频率的余弦信号，利用L-D算法估计该序列的功率谱。N=128;p=40;NFFT=2048;Fs=2;n=0:N-1;randn('state',0);x=cos(0.3*pi*n)+cos(0.4*pi*n)+randn(size(n));[P,f]=periodogram(x,[],NFFT,2);[Py,fy]=pyulear(x,p,NFFT,2);subplot(211);p
6、lot(f,10*log(P));grid;title('Periodogram');axis([01-6060]);subplot(212);plot(fy,10*log(Py));grid;title('Yule');axis([01-6060]);谱估计结果——p=40,N=12800.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200204060Periodogram00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-60-40-200204060YuleAR模型参数与前向线性预测滤波器的关系前向线
7、性预测滤波器前向预测误差前向预测误差滤波器系统函数例:前向线性预测(p=2)AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系均方误差最小的前向预测误差滤波器正交准则若则估计的均方误差达到最小。且预测系数及均方误差的确定AR模型参数与前向线性预测滤波器的关系后向线性预测滤波器后向预测误差后向预测误差滤波器系统函数AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系例:后向线性预测(p=2)预测系数及均方误差的确定AR模型参数与后向线性预测滤波器的关系由可得比较前向预测系统和后向预测系统的方程后可得系数{a2(1),a2(2)}满足的方程相同Ab(z)=z-2A(
8、z)伯格(Burg)递推算法L-D算法缺点：在计算相关函数估计时，对N个观测数据以外的数据作零的假设，故谱估计误差较大。伯格(Burg)递推算法基本思想：直接从观测的数据利用线性预测器的前向和后向预测的总均
