第2章 现代谱估计ppt课件.ppt

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1、第二章现代谱估计现代谱估计概述AR模型谱估计线性预测Burg算法ARMA模型谱估计扩展Prony方法多重信号分类(MUSIC)法12.1现代谱估计概述经典谱估计的主要问题基于信号参数模型的谱估计方法2经典谱估计：分辨率低（受窗函数长度的限制）;方差性能不好；方差和分辨率之间的矛盾。对平稳信号建模:用于功率谱估计:提高分辨率，减小方差；也可用于信号的特征提取，预测，编码及数据压缩等。32.1现代谱估计概述在第一章中介绍了用参数模型来描述随机信号的方法，如果能确定信号x(n)的信号模型，根据信号观测数据求出模型参数，系统函数用H

2、(z)表示，模型输入白噪声方差为σw2，信号的功率谱用下式求出：按照这种思路，功率谱估计可分成三个步骤：（1）选择合适的信号模型；（2）根据x(n)有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数估计值，估计模型的参数;（3）计算模型输出功率谱。4参数模型与模型谱信号测量数据1、基本思路模型（参数）（MA,AR,ARMA）确定随机w(n)S(n)u(n)逼近即：信号的当前值是由其过去的值和输入信号现在与过去的值按照模型参数线性加权组合得到。52.自回归－滑动平均模型(ARMA(p,q)）（Pole-zeromodel）X(n

3、)的功率谱6推导：于是：73.滑动平均模型—MA(q)（Allzeromodel）84.自回归模型—（Allpolesmodel）95.模型参数ModelParameters:10已知有限长数据或有限长的相关函数，估计的步骤为：①建立参数模型(MA,AR,ARMA,阶次p,q)②由或估计的参数(解法)－－参数估计③由的参数估计【注】估计ARMA或MA的参数一般需解一组非线性方程组，估计AR模型参数通常只需解一组线性方程组。6.参数估计与谱估计11例.(白噪声中的AR过程)12故即：白噪声中的AR(P)过程是一个ARMA(p,

4、q)过程，其激励噪声是白的，方差为其中：132.2AR模型谱估计AR模型的正则方程Levinson-Durbin算法AR谱估计的自相关法AR模型阶次的选择AR模型谱估计的性质14一、AR模型的正则方程AR模型：差分方程：15目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数：已知参数：求解方法：由下面的差分方程入手：两边同乘，求均值未知参数：å=+--=pkknuknxanx1)()()(16一、AR模型的正则方程假定、都是实平稳的随机信号，为白噪声，方差为，为服从AR过程的因果信号。由AR模型的差分方程，有将上式两边同乘

5、以，并求均值，得17一、AR模型的正则方程(a)式中，为AR模型的单位取样响应。由z变换的性质，当时，有。将之代入上式，有(b)18一、AR模型的正则方程综合式(a)与式(b)，有在上述推导中，应用了实信号自相关函数的偶对称性，即。由上式可得个方程，写成矩阵形式为19一、AR模型的正则方程上述两式即为AR模型的正则方程，又称Yule-Walker方程。或20上式不考虑对称性表示为如下形式可简单的表示为其中，是阶AR模型的系数向量，是维全零列向量，定义为(6)21AR模型的正则方程也可表示为22式(8)简单地表示为其中，因矩阵

6、是非奇异的，有将代入式(7)中即得到。23例已知满足实模型，即满足如下差分方程其中，是均值为零，方差为的白噪声。模型阶数，得到二阶的Yule-Walker方程取AR24所以，可以解得同样可以用和来表示和，即2526一、AR模型的正则方程需要指出的是，上式中的自相关矩阵为Toeplitz矩阵；若是复过程，那么，则其自相关矩阵是Hermitian对称的Toeplitz矩阵。这类矩阵具有一系列好的性质，利用这些性质，可以找到快速求解AR模型参数的高效算法。若取估计则27二、Levinson-Durbin算法Levinson-Dur

7、bin递推算法是求解Yule-Walker方程的快速有效算法，这种算法利用了方程组系数矩阵（自相关矩阵）所具有的一系列好的性，使运算量大大减少。其推导的方法有多种，这里只介绍一种较为简便的推导方法。在实际应用中，为避免矩阵求逆运算，降低计算量，通常并不直接求解正则方程，而是根据自相关矩阵的Toeplitz性质，利用Levinson-Durbin迭代算法进行求解。28二、Levinson-Durbin算法定义为的第个系数；为阶AR模型输入白噪声的方差；阶AR模型思路：利用Toeplitz矩阵特点，由低阶高阶反射系数29二、Le

8、vinson-Durbin算法计算阶AR模型的参数，由(6)得对于，若已知阶AR模型的参数和容易解得，模型的正则方程为30二、Levinson-Durbin算法(a)的参数，要求解的m阶Yule-Walker方程为31二、Levinson-Durbin算法(b)32二、Levinson-D