探究递推公式为分式型数列的通项问题.doc

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1、探究递推公式为分式型数列的通项问题河南省焦作市第一中学分校(454000)李国富对于形如递推公式为監二加丄〃(ch0,AD-BC^Q)的数列｛%｝,这类问Ca“_]+D题有一般性的公式解法，通常用特征方程求不动点，即先求解递推公式所对应的特征方程,求出不动点，然后再解。虽然这类题本身有特征方程求不动点等的知识背景，但高考题并不考，也不依赖于这知识，从所给的标准答案来看，其立意在于将递推数列求通项问题转化为C知数列的U知知识来解决，即转化为等差数列或等比数列来解决。那么，有没有不用高等数学知识，而只用高屮数学知识的方法？这类问题是否存在通项公式？若存在又怎么来求？

2、下面通过具体例子介绍一种方法，仅供参考！例题例题1:(2010年全国高考数学理科笫22题)已知数列｛%｝屮，q=l，Q“+i=c—丄.,求数列｛仇｝的通项公式;(II)求使不等式alt<陽+

3、<3成立的c的取值范围.分析：(I)题H已经明确告诉学牛要构造：色-2的倒数，也就是说在,两2色51a-214边同时减2得：也-2=厂石-2=苛，再倒数即：亍m+2,亦即仇防4化+2,下一步再变形:2}3>”+1｝是首项T公比为4的等比数列，进而可求出数列｛仇｝的通项公式。(II)略例题2：(2008年全国高考数学陕西卷理科第22题)已知数列｛%｝的首项坷=_,an+r—^

4、—,n=l,2,3…52cin+1(i)求｛%｝的通项公式；11(2、(ii)证明：对任点的x>0,an—•—-x,n=l,2,3•••1+x(1+x)13"丿(iii)证明：q+e+…+a”＞丄-n+分析:丄两边同时加上2,得％+2=（*2可陽+几2色+113+22倒数得W+2(3+2小”+2—丄"3+22/+2=1-(3+22丿22—+2；61,1*3+22令岛"，（目的使分母成P+2”型人得归，或宀7不妨取宀。，于是有—=变形丄一1=1°”+133a”an+i31）12——1,又一一1=—,所以，数列是3〃211以一为首项，-为公比的等比数列。于是：有一

5、-133an£=得色匚+2（ii）略例题3：（2007年全国高考数学理科试卷第22题）：数列｛%｝中,坷=2,叫+i已知:（^2-1）（a“+V2）,,2=1,2,3•••（I）求｛%｝的通项公式;（II）若数列｛仇｝中b｝=2,=—,n=l,2,3…2仇+3证明：V2

6、+3即：一-—化+1+X32（3兀+4）2x+3（2x+3『2+2x+33r+4可令"对'目的是使分母变成如X”型则（1）式可化为一1—=上弐・—1—+—^—勺汁］+兀2兀+3bn+x2x+3（2）由方程“若!得“土妊不妨取宀则（2）式可变为2bn+[-V2~3-2V2bn-y[23-2V2即：—宀）4"2（対它是形如“盼=pan+q”的式子；易求bu-^2=（L2—（V2+1）-12（血+1广2-1；显然，“>y/2,o由（i）知：an=V2（血-1）倒数：—"+i所以cig=忑（V2-1）4/i-3+1于是：%31H7~r（后1）-V212洛+1厂一1（后

7、厂（后1）24n-2-1b“+i+x（2x+3）仇+3x+4（血+1厂亠2（血+1厂=++1）4”一3+14/:-2-14〃一2-1近(血+1)(血j)j•(血+1广[e+1)(血+1厂-1(V2+1)4"一2+1)-1所以，bn

8、X—an+x(A+Cx)an_}+(B+Dx)即:cri_叽+(B+Dx)+Z)—C(B+D

9、x)A+Cx(A+Cx)ati^+(B+Dx)所以：」一an+兀DC(B+gA+CxC+(A+Cx)an_}+(B+Dx)A+Cx即：DC(B+Dx)A+Cx(A+ex)-1Cx—+B+DxA+Cx%+A+Cx为了使上述等式左右成“」一”形式，可令空公=xau+xA+Cx则:1D-Cx1C=x1an+xA+Cx+兀A+Cx(*)由方程黯“得：方程有解的条件为：（A—D）2+4BC20(ChO)在此条件下可求出该方稈解：召，X2；不妨令X=A-则(*)式可变为：」一=d_5%_I_+_c_an+£A+Cxxan_}+x}A+Cxx（其屮PD—CXjA+CXjCA+

10、CX]对于上述数列｛仇｝