二阶导数意义.doc

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1、二阶导数的意义二阶导数就是对一阶导数再求导一次，意义如下：（1）斜线斜率变化的速度，表示的是一阶导数的变化率（2）函数的凹凸性。（3）判断极大值极小值。结合-•阶、二阶导数可以求函数的极值。当-•阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当-阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。一、用二阶导数判断极大值或极小值定理设在兀0二阶可导,且广（兀0）=0,厂（兀0）Ho.fxQ）＜0（2）若八无0）〉°,则f（无）在兀取得极小值.例试问a为何值时，函数/（x）=<7si

2、nx+

3、sin3x在x=f处取得极值？它是极大值还是极小值？求此极值.解f'（X）=acosx+cos3x由假设知于‘（亍）=°，从而有2~i=°77

4、)=-a/3

5、式为-12,/(x)在兀=-1取得极大值3代入二阶导数表达式12,在兀=3取得极小值三、函数图像凹凸定理若于(兀)在(⑦方)内二阶可导,则曲线y=/(x)在(小内的图像是凹曲线的充要条件是f"(X)>0,xe(a.b)・曲线y=/(x)在(讪)内的图像是凸曲线的充要条件是xg(a.b)o几何的直观解释：如果如果一个函数f（x）在某个区间I上有厂⑴＞0恒成立，那么在区间I丄f（x）的图象丄的任意两点连出的一•条线段，这两点之间的函数图彖都在该线段的下方，反Z在该线段的上方。线的凸性对函数的单调性、极值、最大值与最小值进

6、行了讨论，使我们知道了函数变化的大致情况.但这还不够，因为同属单增的两个可导函数的图形，虽然从左到右曲线都在上升，但它们的弯曲方向却可以不同•如图1—1屮的曲线为向下凸,/（西）+/（兀2）〉/（西+兀2）定义4・5・1设y=f（x）在（a,〃）内可导，若曲线=f（x）位于其每点处切线的上方，则称它为在（a,b）内下凸（或上凹）；若曲线y二/⑴位于其每点处切线的卜方，贝！J称它在（a,方）内上凸（或下凹）・相应地，也称函数y=f（x）分别为（a,方）内的下凸函数和上凸函数（通常把下凸函数称为凸函数）.从图1一1和图1

7、一2明显看出，下凸曲线的斜率tana=广⑴（其屮q为切线的倾角）随着无的增大而增大，即广⑴为单增函数；上凸曲线斜率广⑴随着兀的增大而减小，也就是说，广（朗为单减函数.但广（x）的单调性可由二阶导数/"（朗来判定，因此有下述定理.定理4.5.1若/（x）在@4内二阶可导，则曲线尸/⑴在（以）内下凸（凹函数）的充要条件是xg(a.h)•例1讨论高斯曲线的凸性.解y'=—2壮」，），"=2（2兀2一1）£」.所以即当兀〉或兀v—V2V2吋y">0；即当一占vxv右时y"<0.因此在区间2肖与g内曲线下凸；在区间（十強内曲线

8、上凸•四川高考数学2006——理22压轴题2222,已知函数/（兀）=兀十匚+E，证明f（x）的导函数f，（x）对于任意两个不相等的正数X1,X2，当dWO时，有于（旺）+/（兀2）2〉于（旺+兀292证法一：由f^=X+-+6Z1HX心）+/E）=丄叶+兀22”（丄+丄）+红叽+1咔）2£兀22_—(X

9、2+兀/)+(K*“2)+q比JxX°=2-xtx2“兀+兀八zx+x9x24.+x9f(^―^)=(^―^)++°In22x}+x22比较大小，会算吗?二阶导数QM法:欲证/(%!)+/(%2)〉用1+兀2即证

10、函数图像是凹的，只需证f”（x）＞0,（必0）f'（%）=2兀—+—•/X>0,(2<0・・・f0)>0问题得证