28二阶导数意义与函数性质

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1、厂中国高考数学母题］(第338号)二阶导数意义与函数性质随着高等数学知识在初等数学屮的下放，在高考中，出现了越来越多具有高等数学背景的试题，英中，以二阶导数的三种意义为背景的高考试题就是典型的例证.［母题结构］:(1)(极值判断)设f(x)在X。处二阶可导，且f(Xo)=O,厂(x°)H0,①若r(xo)<0,则x°是f(x)的极大值点；②若f(Xo)>O,则x。是f(x)的极小值点；(11)(凹凸定理)若f(x)在(a,b)内二阶可导，①f(x)在(a,b)内的图像是凹曲线o当xw(a,b)时，厂(x)$0恒成立;②

2、f(x)在(a,b)内的图像是凸曲线o当xG(a,b)时，f"(x)WO恒成立;(in)(拐点定理)曲线凸部和凹部的分界点叫做拐点,f(x)的拐点x。,一定是使r(xo)=o的点，①若r(xo)=o,k「(Xo)工0,则Xo是曲线的拐点;②厂(Xo)=0,fm(Xo)=0,则点Xo不是曲线的拐点.［母题解析］:(I)①由r(Xo)f(x)在X二X。的左右附近单调递减，乂f(Xo)=0=>x在x=x°的左侧时,f(x)>0,x在X=Xo的右侧时，广(x)<0=>Xo是f(x)的极大值点;②同理可证；(11)(11

3、1)略.1.极值判斷子题类型I:(2012年安徽高考试题)设函数f(X)二斗+sinx的所有正的极小值点从小到大排成的数列为g｝.(I)求数列｛Xn｝；(II)设｛Xn｝的前n项和为Sn,求SillSn.［解析］:(I)由f(x)牛+sinxnf1(x)=^-+cosx=>/*(x)=-sinx,令/'(x)=0=>cosx=-»nx=2n兀±空；又因/"(2n2223<0,f(2rni-—)=—>0=>x=2nn-—是f(x)的极小值点=>xh=2nn-—(n^N.);323233(I【)由xn=2nn=>Sn=n(

4、n+1)，注遺到:n(n+l)为偶数=>sinSn=sin［n(n+1):n-包巴］=-sin包巴：①当n=3k-23333(kWN+)时,sinSn=~—;②当n=3kT(k&Nj时，sinSn=—;③当n=3k-2(k^N-)时，sinSn=0.22［点评］:利用二吟导数的符号判斷函数极值点的类型，即极值点是极大值点，还是极小值点？可以避免列表的麻烦，十分快捷方便.［同类试题］:1.(2008年湖北高考试题)己知函数f(x)=xW-m2x+l(m为常数，且m>0)有极大值9.(I)求m的值；(1【)若斜率为-5的直

5、线是曲线y-f(x)的切线，求此直线方程.2.凹凸定理子题类型II:(1994年全国高考理科试题)已知函数f(x)=tanx,xe(0,巴)，若x„x2e(0,三)，且x.^x2,证明：22丄［f(x】)+f(X2)］>f(冲2).22［解析］:先证明如下命题:若f(x)在区间(0,兰)上连续可导,Rf，(x)在区间(0,兰)上单调递增，则当xbx2e(0,△),且2丿22x¥x2时，+[f(xJ+f(X2)]〉f(^);不妨设0〈Xif(竽);ZZfZ

6、L令g(X)=y［f(X)+f(X2)］-f(蔦"2),则y(X)=l［f(X)-广(三殳)］〉0=>g(X)在区间(0,X2)上单调递增=>g(x)>g(x2)=0乙厶厶■=>g(X］)>0=>+［f(Xi)+f(x2)］>f(";厶J当xG(0,-)时，由f(x)=tanx=>f(x)=—!—=>厂(x)二空二>0nf(x)在区间(0,-)上单调递增n丄［f(x.)+2cosxcosx22f(xj］>f(冲•).［点评］:①若f(x)在区间D上是凸函数,则对任意的Xi,X2,…,x£D,都有f(P1X1+P2X2+

7、•••+pnxn)^p,f(Xi)+p2f(x2)+•••+Pnf0,Pl+p2+---+Pn=1)；②若f(x)在区间D上是凹函数，则对任意的Xi,X2,…，X£D,都有f(piXl+p2X2+**-+PnX„)WPlf(Xl)+p2f(X2)+-•+p„f(x„)(其中Pi>0,P1+P2+••，+Pn=1),当且仅当Xi二X2二…二Xn时，等号成立.［同类试题］:1.(2005年全国I高考试题)(I)设函数f(x)=x1og2x+(1-x)log2(1-x)(0

8、(II)设正数Pl,P2,P3,…，P2«满足Pl+P2+P：<+—+Pr=1,证:PllOg2P)+P21Og2P2+p31Og2P3+—+Pr10g2Pjn»n.3•拐点定理子题类型III:(2012年福建高考试题)已知函数f(x)=ex+ax2-ex,aGR.(I)若曲线y=f(x)在点(l,f(D)处的切线平行于x轴,求函