利用导数研究函数性质

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1、山西师范大学现代文理学院本科毕业论文利用导数研究函数性质姓名院系数学与计算机科学系专业数学与应用数学班级0803班学号指导教师答辩日期成绩论文题目：利用导数研究函数性质内容摘要导数作为研究函数性质极其重要而有力的工具，为我们解决许多函数问题提供了一种更简单易行的方法和途径，极大地丰富了数学思想方法。本文通过结合具体的例子，论述了导数在研究函数性质时的一些应用：比如利用导数处理函数图像的切线问题、利用导数研究函数的单调性、解决极值最值问题、以导数为工具探讨函数零点个数、应用导数证明不等式、进行近似计算。【关键词】导数函数的性质函数的零点不等式近

2、似计算Title:ThestudyoffunctionbyusingderivativeAbstractResearchonthepropertiesoffunctionderivateasextremelyimportantandpowerfultool,forustosolvemanyfunctionprovidesamoresimplemetheodandtheway,greatlyenrichedthemathematicalthoughtandmethed.Inthispaper,throughacombinationofspeci

3、ficexamples,discusstheresearchonthepropertiesoffunctionderivativeintheapplication:Suchastheuseofthederivativefunctionimagetangentpromblem,usingderivativeofmonotonicityoffunctions,solvingthemostvalueproblemwiththederivativeextremum,asatooltoexaminezeronumberoffunctions,appli

4、cationofthederivativetoproveinequality,approximatecalculation.【KeyWords】derivativepropertiesoffunctionzeroofafunctioninequalityapproximatecalculation目录引言1一、导数的相关概念1二、函数基本性质的研究2（一）利用导数处理函数图像的切线问题2（二）利用导数判断函数的单调性3（三）利用导数求函数的极值、最值5三、函数零点个数的探讨7四、不等式的证明9五、利用导数解决近似计算问题10结束语11参考文献

5、11致谢12利用导数研究函数性质学生姓名：指导老师：引言导数是联系初、高等数学的基础，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，它的工具已经渗透到数学的很多分支，这在函数的研究中更是得到了体现。利用导数研究函数的一些性质并解决相关问题，为数学研究提供了新的视野。以下我们先来介绍一些导数的基本概念，再具体的阐述如何利用导数解决函数问题。一、导数的相关概念1.导数的定义：当自变量的，时函数的增量与自变量之比的极限存在且有限，即存在且有限，我们就说在点导，称此极限为在点处的导数（或变化率）。2.导数的另一种形式：叫做在时的导数，记作，导数还可以表示

6、为：。3.导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率。注意：①函数在点的某领域内要有定义，否则导数不存在。②如果极限不在，则称函数在点处。③导数表示的是函数在化率，反映的是函数在点的快慢程度。④如果函数在开区间内的每一点处都可导，则称函数在开区间，此时对每一个都对应着一个确定的导数，11我们称函数为在内的导函数，简称导数。二、函数基本性质的研究（一）利用导数处理函数图像的切线问题导数的几何意义在函数图象上可表示为曲线在处切线的斜率，在具体应用中，已知曲线和曲线上的点，则可求出曲线在点处的切率为，从而得到切线方程为注意：①在求曲线的切线方程时，要特别

7、注意曲线上某点处的切线和过某点的切线是完全不同的：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，就算此点在曲线上，也不一定只有一条。②在求过某点的切线时，必须首先搞清楚此点是否在曲线上，只有该点在曲线上时，切线斜率才是。③在求两条曲线的公切线时也常常会用到导数的知识。例1⑴已知曲线的一条切线与直线垂直，求直线的方程。⑵已知曲线上的一点，求过该点的切线方程。解：⑴切线与直线垂直，则可设直线的方程为，的斜率为，即曲线在某一点处的为，而，所以在点处的导数为，因此直线的方程为，即。⑵设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为，又切点在曲线上，

8、故由题意知，切线，把它代入切线方程得11，解得或，故所求切线方程为或即或小结：我们会发现是以为切点，且经过点的直线，而不是以为切点的的直线，这说明在求经过曲线上某点