导数研究函数性质

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1、标准实用1．导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．(2)若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0

2、))处的切线的斜率k，即k＝f′(x0)．3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(

3、x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；文案大全标准实用(3)[]′＝(g(x)≠0)．5．复合函数的导数若y＝f(u)，u＝ax＋b，则y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x0)与(f(x0))′表示的意义相同．(　　)(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．(　　)(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　)(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　)(5)函数f(x)＝sin(－x)的

4、导数是f′(x)＝cosx．(　　)1．(教材改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为________．2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是________．3．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f′()＝________.4．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是__________．文案大全标准实用5．(2015·陕西)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线

5、与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．题型一　导数的运算例1　求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝；(5)y＝ln(2x－5)．思维升华　(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(1)f(x)＝x(

6、2016＋lnx)，若f′(x0)＝2017，则x0＝________.(2)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.题型二　导数的几何意义命题点1　已知切点的切线方程问题例2　(1)函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为__________．(2)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．命题点2　未知切点的切线方程问题例3　(1)与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是__________．文案大全

7、标准实用(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为____________．命题点3　和切线有关的参数问题例4　已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________.命题点4　导数与函数图象的关系例5　如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的____

8、____(填序号)．思维升华　导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)．(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程