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1、第八章多元函数积分学一二重积分的概念及简单性质二二重积分的计算一、问题的提出二、二重积分的概念三、二重积分的性质四、小结第一节二重积分的概念与性质柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.１．曲顶柱体的体积一、问题的提出曲顶柱体回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则如图0xyabxixi+1iy=f(x)f(i)其中i[xi,xi+1],xi=xi+1xi,表小区间[xi,xi+1]的长,f(i)xi表示小矩形的面积.求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶
2、柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法．设有一立体.其底面是xy面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体的顶是平行于xy面的平面.则平顶柱体的体积=底面积×高.0yzxz=f(x,y)D如图一、例1.求曲顶柱体的体积V.(i)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi(ii)由于Di很小,z=f(x,y)连续,
3、小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(i,i)Di.小平顶柱体的高=f(i,i).若记i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(i,i)i小曲顶柱体体积f(i,i)(i,i)Diz=f(x,y)(iii)因此,大曲顶柱体的体积分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得"无限细",则右端近似值会无限接近于精确值V.若存在则(iv)其中Di的直径是指Di中相距最远的两点的距离.其中(i,i)Di,i=Di的面积.xyDi如图求曲顶柱体体积的方法：分割、取近似、求和、取极限。步骤如下：1.分割2.取近似3.求和4.取极限２．求
4、平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的概念积分区域被积函数积分变量------被积表达式面积元素对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D，故二重积分可写为则面积元素为D性质１当k为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质性质３对区域具有可加性性质４若为D的面积，性质５若在D上特殊地则有性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值
5、不等式）解因此，由性质6知即二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（积分和式的极限）四、小结思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.定积分与二重积分相同之处：都表示某种和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是:定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数;二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．思考题解答第二节二重积分的计算法（1）利用直角坐标计算二重积分先讨论积分区域为：其中函数、在区间上连续.利用直角坐标系计算二重积分［X－型］X型区域的特点：穿过区域
6、且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.积分区域为：［X－型］一般地，---先对y积分，后对x积分的二次积分如果积分区域为：［Y－型］---先对x积分，后对y积分的二次积分1.若D既是x—型区域,又是y—型区域.比如x0yx0yx0y当用某次序算二重积分不好算时,可改换积分次序,可能好算.则既可先对x积分,又可先对y积分.等等,此时,2.（1）如果积分区域是矩形（2）如果被积函数f(x,y)=f1(x)·f2(y),且积分区域是矩形区域，则设D：axb,cyd.f(x,y)=f1(x)·f2(y)可积，则yx0dcab比如，若区域如图，在分割后的三个区
7、域上分别使用积分公式则必须分割.3.4.设D:y1(x)yy2(x),axb,为x—型区域.其中y2(x)为分段函数.如图则由于y2(x)是分段函数,里层积分上限无法确定用哪一个表达式.故应将D分成D1,D2,分块积分.xy0D1D2y=1(x)y=2(x)ab例1将化为二次积分。其中D由直线围成。解1：先画出积分区域D。D是Y－型。于是，解2：于是，例2计算其中D由直线围成。解先画出积分区域D。D是X－型。于是，于是，例3解积分区域为于是，解设则于是，设解解例9.求解：由于是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D的图形.由
