定积分应用题附答案.doc

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1、《定积分的应用》复习题一．填空：1．曲线所围成的平面图形的面积为A==b-a______2.________二．计算题：1．求由抛物线y2=2x与直线2x+y–2=0所围成的图形的面积。解：（1）确定积分变量为y，解方程组得即抛物线与直线的交点为（，1）和(2,-2).故所求图形在直线y=1和y=-2之间，即积分区间为［－2，1］。（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［y,y+dy］,对应的窄条面积近似于高为［(１－y）-y2］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素dA=[(１－y)-y2]d

2、y(3)所求图形面积A=[（1-y）-y2]dy=[y-y2–y]=2．求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。解：由y=-x2+4x–3得。抛物线在点（0，-3）处的切线方程为y=4x–3;在点（3，0）处的切线方程为y=-2x+6;两切线的交点坐标为（，3）。故面积A=3．求由摆线x=a(t–sint),y=a(1-cost)的一拱（）与横轴所围成的图形的面积。解：4．求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r=3cos及r=1+cos解：两曲线

3、的交点由故A==5．计算由摆线x=a(t–sint),y=a(1-cost)的一拱（），直线y=0所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。解：=6．求由x2+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：{，得圆与抛物线的两个交点为{，{，所以积分区间为[-1，1]。（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x,x+dx]，与它对应的薄片体积近似于[（2-x2）-x4]dx,从而得到体积元素dV=[（2-x2）-x4]dx=（

4、2-x2-x4）dx.（3）故=（2-x2-x4）dx=7．求圆盘绕Y轴旋转而成的旋转体的体积。解设旋转体积为V，则8．设有抛物线C：y=a–bx2(a>0,b>0)，试确定常数a,b的值，使得C与直线y=x+1相切，且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。解：设切点坐标为(x,y),由于抛物线与y=x+1相切，故有K=-2bx=1,得由解得，即：由令得9．设星形线方程为（a>0），求：（1）由星形线所围图形的面积（2）星形线的长度。解：（1）由对称性得A（2）L===10．计算曲线自

5、原点到与具有铅直的切线最近点的弧长。解：曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为，原点对应的参数t=1。故s=11．设S1为曲线y=x2、直线y=t2（t为参数）及Y轴所围图形的面积；S2为曲线y=x2、直线y=t2及x=1所围图形的面积。问t为何值时，S=S1+S2取得最大值、最小值。解：令于是故Smax=S(1)=,Smin=三．证明题：1.证明：曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长。证明：y=sinx的一个周期的弧长L1=椭圆2x2+y2=2即：化为参数方

6、程为其弧长为L2=故L1=L2