高一数学同步辅导教材(第15讲).doc

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1、高一数学同步辅导教材（第15讲）一、本讲速度3．1数列3．2等差数列二、本讲主要内容1．数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。2．等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。三、学习指导1．要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。数列是按一定顺序排列起来的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射;从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋（或它的有限子集｛１，２，……，n｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。用函数观点看待数列，有助于加深对数

2、列概念和性质的理解。数列的数是按一定顺序排列的。如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。是两个不同的数列。要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，……。而数集中的数是无序的，并且是互异的。数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式

3、中的n，就可以求出数列的各项。根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０.１，０.０１，０.００１，……的不足近似值构成的数列就没有通项公式。一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，……的通项公式可以写成an=(-1)n，也可以写成1(n=2k-1,k∈N+)an=-1(n=2k,k∈N+)它们形式不同，但实质是一样的．与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。利用列表法表

4、示的数列，内容具体，方法简单，缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。图象法表示的数列直观但不精确。数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法，但限于学习要求，只需了解这种方法，能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。２．要正确理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并能用于解决一些简单的问题。课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d的概念。对于等差数列｛an｝有an+1-an=d(n∈Ｎ＋)，这就是等差数列的递推公式．由an-an-1=d，an-1-an-2=d，……，a2-a1=d，将这n-1个

5、式子相加，得an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d，这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。根据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。如果a，Ａ，b成等差数列，那么Ａ叫做a,b的等差中项，且Ａ＝，（Ａ也叫a,b的算术平均值）。容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即，（n,k

6、∈Ｎ＋，且n＞k）．等差数列有如下一些性质：（１）设数列｛an｝是公差为d的等差数列，那么an=am+(n-m)d(m,n∈Ｎ＋)（２）设数列｛an｝是等差数列，如果m,n,k,∈Ｎ＋，且m+n=k+，那么am+an=ak+（３）等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列．（４）设数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，那么数列｛λan+μbn｝（λ，μ为常数），也是等差数列．以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试．四．典型例题分析例１．分别写出下列数列的一个通项公式：（１）……（２）……（３）５,55,555,5555,……（４）……解题思路

7、分析：（１）数列各项的绝对值可以分成整数，分数的分子和分母三部分,再分别考察各部分，加上变换正负号的（－１）n得an=(-1)n[(2n-1)+]（２）将这数列前４项改写成，可得通项公式an=(-1)n+1（３）由于９，９９，９９９，９９９９，……的通项公式是10n-1所以将题中数列各项改写后，可得通项公式an=(10n-1)（４）原数列可写成：……得通项公式为an=例２．数列｛an｝中，a1=1,对所有的n≥２都有…an=n2；（１）求a3+a5；（２）是这数列中的项吗？解题思路分析：据题设…an-1=(n-1)2,而∴（n≥2）由此可以求得a3+a5=，令，

8、可以判断是这数列中的第１