高二数学同步辅导教材(第15讲)

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1、高二数学同步辅导教材（第15讲）本章主要内容8.4双曲线的简单几何性质一、本讲主要内容1、双曲线的第二定义2、双曲线的几何性质及应用3、直线与双曲线的位置关系二、学习指导1、双曲线的几何性质分为两大类（1）自身固有的几何性质：①位置关系：中心是两焦点，两顶点的中点；焦点在实轴上；实轴与虚轴垂直；双曲线有两条过中心的渐近线；准线与实轴垂直；②数量关系：实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c。两准线之间距离为；焦准距（焦参数）；③离心率，e>1，e越大，双曲线开口越阔。（2）解析性质（与坐标系有关），列

2、表比较如下：焦点在x轴上的双曲线焦点在y轴上的双曲线方程（a>0，b>0）（a>0，b>0）顶点（±a，0），（0，±b）（0，±a），（±b，0）焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，-c），F2(0，c)准线x=±y=±渐近线y=±y=±对称性关于x轴、y轴轴对称，关于原点中心对称范围

3、x

4、≥a，y∈R

5、y

6、≥a，x∈R焦半径P在左支：

7、PF1

8、=-a-ex0,

9、PF2

10、=a-ex0P在右支：

11、PF1

12、=ex0+a，

13、PF2

14、=ex0-aP在下支：

15、PF1

16、=-a-ey0，

17、PF2

18、=a-e

19、y0P在上支：

20、PF1

21、=ey0+a，

22、pF2

23、=ey0-a2、双曲线的第二定义与椭圆第二定义相同，见教材P112.例3。第一定义与第二定义的关系见前面椭圆内容。3、直线与双曲线的位置关系研究完全类似于直线和椭圆。但由于双曲线多了渐近线，因此当直线与双曲线有一个公共点时，其位置有两种情形：一是直线与双曲线相切，此时直线与双曲线方程联立消元后所得关于x（或y）的二次方程的判别式△=0；二是直线与双曲线相交，具体地说，也就是直线与双曲线的渐近线平行。此时直线与双曲线方程联立消元之后所得关于x（或y）的方程为

24、一次方程。直线与双曲线相交时，基本处理途径有二：一是列方程组；二是用点差法。不管是哪一种途径，都要强化设而不求的思想。4、在（a>0，b>0）中，若a=b，则双曲线为等轴双曲线，其离心率。5、双曲线与称为共轭双曲线。5、它们的实轴顶点和虚轴顶点互换；它们的焦点共圆；它们的离心率e1、e2满足=1。6、已知双曲线方程为，则其渐近线方程为；若已知渐近线方程为，则对应的双曲线方程为一、典型例题例1、直线l：ax+by-3a=0与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。解题思路分析：含字母的问题应分类讨论。本题在

25、化简直线方程的过程中，需对b(或a)讨论；在直线方程与双曲线方程联立消元后，需对方程的类型进行讨论。由ax+by-3a=0得：by=-ax+3a（1）当b=0时，a≠0，∴x=3，代入得y=0，∴此时直线l：x=3与双曲线只有一个公共点（3，0）；（2）当b≠0时，直线l方程为由得(4b2-9a2)x2+54a2x-9(a2+4b2)=0①当4b2-9a2=0，时，方程可化为x=3，∴y=0，∴此时直线l：与双曲线只有一个公共点；②当4b2-9a2≠0时，由已知得△=0，但△=542a4+36(4b2-

26、9a2)(4b2+9a2)=36×1664>0恒成立∴此时直线l与双曲线必相交综上所述，满足条件的直线l共有三条：x-3=0，2x±3y-6=0注：含参数的直线l方程若化简为a(x-3)+6y=0，则可知l必定点（3，0），因（3，0）正好为双曲线实轴顶点。所以过此点的切线x=3及过此点与渐近线平行的直线y=均与双曲线只有一个公共点。由此可见，重视几何图形特征分析会简化计算。例2、双曲线H的一条渐近线过点P（2，1），两准线间的距离为，求H的标准方程。解题思路分析：用待定系数法。注意对焦点位置进行分类讨

27、论。（i）当焦点在x轴上时，设H：，则其渐近线为∴解之得：∴H方程为（ii）当焦点在y轴上时，同理可求得双曲线方程为。例3、双曲线H的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，能否在H的左支上找到点P，使

28、PF1

29、是P到右准l1的距离d1与

30、PF2

31、的等比中项。解题思路分析：本题称为开放性题型，需要首先对结论作出是否存在的判断。通常总是肯定结论成立，然后求出满足条件的元素，如本题点P。设双曲线H：（a>0，b>0），P(x0，y0)，x0≤-a则

32、PF1

33、=-a-ex0=，

34、PF2

35、=a-ex0代入

36、PF1

37、

38、2=d1·

39、PF2

40、得：整理得：∵点P在左支上∴x0≤-a∴≤∴≤-a∴e2-2e-1≤0∴1

41、PF1

42、、d1、

43、PF2

44、中可任选一个量作为参数。例如选择d1为参数∵∴

45、PF1

46、=ed1∵

47、PF2

48、-

49、PF1

50、=2a∴

51、PF2

52、=2a+

53、PF1

54、=2a+ed1代入

55、P