高二数学同步辅导教材（第38讲）

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1、无锡教育http://www.wxjy.com.cn高二数学同步辅导教材（第38讲）主讲:孙福明(江苏省常州高级中学一级教师)一、本讲进度《排列、组合和概率》小结二、学习指导1、分类计数原理和分步计数原理是关于计数的两个基本原理，是导出排列和组合数公式的根本依据，这两个原理所体现的思想和方法即分类解决和分步解决贯穿全章。同时，即使后面给出了计算排列和组合的排列数公式及组合数公式，但两个基本原理仍然是解决排列组合问题的最基本而又重要的方法。2、要掌握排列、组合应用题的两种基本思考方法：（1）正面思考：通过“分类”或

2、“分步”，把较复杂的分解为若干个简单的排列、组合问题；（2）逆向思考：从集合的角度看，就是从问题涉及的集合在全集中的补集入手，从全集中的元素个数中剔除不符合附加条件的元素个数。解排列组合应用题的切入口：（1）元素分析法；（2）位置分析法。从满足特殊的条件（元素或位置）着手，再考虑非条件元素或位置。熟悉排列组合常见模型的处理技巧：（1）插空与捆绑；（2）错位法；（3）等概率法；（4）分组分配；（5）均匀分配；等。3、二项式定理是中学数学重要的公式之一，它在证明不等式、整除、近似计算等方面有广泛的用途。4、随机事件的

3、概率的理解应遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。排列组合知识是本节的基础，如把一个较复杂的事件分斥为若干个基本事件，实际上就是分类的思想。掌握等可能事件、互斥事件、独立事件等概念，理清各事件之间的关系是学习本节的关键，防止出现死套公式的现象。借助于集合，可以很清楚地认清事件间的关系。5、本章内容抽象程度高，对思维能力要求较高，应讲究正确的学习方法，重视数学思想的运用，如化归、特殊化、数形结合等。三、典型例题例1、一个口袋内有4个不同红球，6个不同白球。（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种

4、；（2）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不小于7的取法有多少种；解题思路分析：（1）根据“至少”的含义进行分类讨论①4个球均为红球：取法有C44②3个红球与1个白球：取法有C43C61③2个红球与2个白球：取法有C42C62由分类计数原理，满足条件的取法共有：C44+C43C61+C42C62=115种注：本题也可用间接法。“红球个数不比白球少”的对立面是“红球个数比白球少”902/03学年度同步辅导教材版权所有不得转录无锡教育http://www.wxjy.com.cn，不过也要分成

5、三类讨论，两种方法计算量相差不多。（1）首先要确定红球及白球的个数，这可通过解不定混合组来确定。设取红球x个，白球y个，则x+y=52x+y≥7x，y∈Nx≤4y≤6由x+y=5得x=5-y∴2(5-y)+y≥7∴y≤3当y=0时，x=5（舍）；当y=1时，x=4；当y=2时，x=3；当y=3时，x=2∴满足条件的红球及白球的个数分别为1与4；2与3；3与2其次求出取法的种数：C44C61+C42C63+C43C62=186例2、有8个人站成两排，每排4人面对面，但其中某两人既不能相邻也不能正对面，有多少种方法？

6、解题思路分析：合理的分类是解决较复杂的排列问题的关键。法一：按同排及异排分类：当某两人在同排时，不相邻有三种情形，如图：（1，3），（1，4），（2，4）共有：C21C31A22A66当某两人在异排时，每一排的每一个位置有3种，不正对面的情形，如图：（a，2），（a，3），（a，4）∴共有C41C31A22A66由分步计数原理，共有25920种站法法二：（1）位置为对象分类：如图：当某两人中的一人在a1、a4，b1、b4中的某一位置时，另一个有5种位置满足；如(a1，a3)，（a1，a4），（a1，b2），（a1

7、，b3），（a1，b4）∴共有C41C51A66当某两人中的一人在a2，a3，b2，b3中的某一位置时，另一人有4种位置满足，如（a2，a4），（a2，b1），（a2，b3）（a2，b4）∴共有C41C41A66C41C51A66+C41C41A66=25920例3、设m，n∈N，函数f(x)=(x+1)m+(x+1)n中x的一次项系数为19，求f(x)中x902/03学年度同步辅导教材版权所有不得转录无锡教育http://www.wxjy.com.cn的二次项系数的最小值，并求出此时f(x)中x7的系数。解题思

8、路分析：求出有关的二次项系数并化简即可∵Cmm-1+Cnn-1=Cm1+Cn1=m+n=19∴f(x)中x的二次项系数为：∵n∈N∴当n=9或10时，g(m，n)min=81此时x7系数为C97+C107=C92+C103=156例4、若某一等差数列的首项为，公差为展开式中的常数项，其中m是7777-15除以19的余数，则此数列前多少项和最大？并求出这个最大值？解题思路分