专题：函数隐性零点问题.doc

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1、北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育函数隐性零点问题近年高考压轴题中，用导数研究函数的单调性、极值、最值及不等式问题成为命题趋势。用导数解决函数综合问题，最终都会归结于函数的单调性的判断，而函数的单调性又与导函数的零点有着密切的联系，可以说函数的零点的求解或估算是函数综合问题的核心。函数的零点是高中数学中的一个极其重要的概念，经常借助于方程、函数的图象等加以解决。根据函数的零点在数值上是否可以准确求出，我们把它分为两类：一类是在数值上可以准确求出的，不妨称之为显性零点；另一类是依据有关理论（如函数零点的存在性定理）或函数的图象，能够判断出零点确实存在，但是无法直接求出，不妨称

2、之为隐性零点。1.不含参函数的隐性零点问题已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则：①有关系式成立，②注意确定的合适范围.2.含参函数的隐性零点问题已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则：①有关系式成立，该关系式给出了的关系，②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.题型一求参数的最值或取值范围例1（2012年全国I卷）设函数f（x）=ex﹣ax﹣2．（1）求f（x）的单调区间；（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．解析：（1）（略解）若a≤0，则f′（x）＞0，f（x

3、）在R上单调递增；若a＞0，则f（x）的单调减区间是（﹣∞，lna），增区间是（lna，+∞）．（2）由于a=1，所以（x﹣k）f′（x）+x+1=（x﹣k）（ex﹣1）+x+1．故当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0等价于k＜+x（x＞0）（*），令g（x）=+x，则g′（x）=，而函数f（x）=ex﹣x﹣2在（0，+∞）聪明在于勤奋，天才在于积累16北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育上单调递增，①f（1）＜0，f（2）＞0，所以f（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．故g′（x）在（0，+∞）存在唯一的零点．设此零点为a，则a∈（1，2）．当x∈（0，a）时，g′

4、（x）＜0；当x∈（a，+∞）时，g′（x）＞0．所以g（x）在（0，+∞）的最小值为g（a）．②又由g′（a）=0，可得ea=a+2，③所以g（a）=a+1∈（2，3）．由于（*）式等价于k＜g（a），故整数k的最大值为2．点评：从第2问解答过程可以看出，处理函数隐性零点三个步骤：①确定零点的存在范围（本题是由零点的存在性定理及单调性确定）；②根据零点的意义进行代数式的替换；③结合前两步，确定目标式的范围。题型二不等式的证明例2.（湖南部分重点高中联考试题）已知函数f（x）=，其中a为常数．（1）若a=0，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在（0，﹣a）上单调递增，

5、求实数a的取值范围；（3）若a=﹣1，设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，求证：f（x0）＜﹣2．解析（1）略解f（x）极大值=f（）=，无极小值；（2）可得a≤﹣；（3）证明：a=﹣1，则f（x）=导数为f′（x）=，①设函数f（x）在（0，1）上的极值点为x0，②可得，即有，要证f（x0）＜﹣2，即+2＜0，由于+2=+2=，由于x0∈（0，1），且x0=，2lnx0=1﹣聪明在于勤奋，天才在于积累16北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育不成立，③则，故f（x0）＜﹣2成立．题型三对极值的估算例3.（2017年全国课标1）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，

6、且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．解析（1）因为f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当x0＞1时，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．因为当0＜x＜时h′（x）＜0，当x＞时h′（x）＞0，所以h（x）min=h（），又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，所以=1，解得a=1；（另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f

7、（x）在x＞0时的最小值为f（1），所以等价于f（x）在x=1处是极小值，所以解得a=1；）（2）证明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x）=2﹣，令t′（x）=0，解得：x=，所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根x0，x2，且不妨设f′（x）在（0，x0）上为正、在（