2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（四）数学归纳法北师大版选修2_2.docx

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1、课时跟踪检测（四）数学归纳法一、基本能力达标1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　)A.　　　　　　　　　B.＋C.＋D.＋＋解析：选D　要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.2．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝(　　)A．1B．3C．5D．7解析：选C　n的取值与2n，n2的取值如下表：n123456……2n248163264……n2149162536……由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4，即n≥5时，恒有2n>n2.3．一个与正整数n有关

2、的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　)A．该命题对于n＞2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对解析：选B　由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B.4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为(　　)A．增加B．增加＋C．增加＋，减少D．增加，减少解析：选C　当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…

3、＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.5．对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　)A．过程全部正确B．n＝1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确解析：选D　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D.6．用数学归纳法证明＋＋…＋＝，推证当n＝k＋1时等式也成立时，只需证明等式___

4、_________________________________成立即可．解析：当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋，故只需证明＋＝即可．答案：＋＝7．数列{an}满足an>0(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和，并且满足Sn＝，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．解：由an>0，得Sn>0，由a1＝S1＝，整理得a＝1，取正根得a1＝1，所以S1＝1.由S2＝及a2＝S2－S1＝S2－1，得S2＝，整理得S＝2，取正根得S2＝.同理可求得S3＝.由此猜想Sn＝.用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．(2

5、)假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即Sk＝.那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝.整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，Sn＝都成立．8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)．解：(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，且≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(n∈N＋)时，命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命

6、题对所有的n∈N＋都成立．二、综合能力提升1．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为(　　)A．f(n)＋n＋1　　B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2解析：选C　增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假设n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1正

7、确D．假设n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)解析：选B　因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是(　　)A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2解析：选C　当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数

8、为f(k)