2019_2020学年高中数学课时跟踪检测(十六)定积分的简单应用北师大版选修2_2.docx

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1、课时跟踪检测(十六)定积分的简单应用一、基本能力达标1.曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1围成的封闭图形的面积是(  )A.4π          B.C.3πD.2π解析:选D 如图,求曲线y=cosx(0≤x≤2π)与直线y=1围成图形的面积可根据余弦函数图像的对称性转化为求由直线y=0,y=1,x=0,x=2π围成的矩形的面积.故选D.2.如果用1N的力能将弹簧拉长1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为(  )A.0.18JB.0.26JC.0.12JD.0.28J解析:选A 设F(x)=kx,当F=1N时,x

2、=0.01m,则k=100.W=100xdx=50x2=0.18(J).3.曲线y=x2+2x与直线x=-1,x=1及x轴所围成图形的面积为(  )A.2B.C.D.解析:选A S=-(x2+2x)dx+(x2+2x)dx=-+=+=2.4.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为(  )A.B.C.D.解析:选C 阴影部分的面积为(-x)dx==,故所求的概率P==,故选C.5.如图是一个质点做直线运动的vt图像,则质点在前6s内的位移为________m.解析:直线OA的方程为y=x,直

3、线AB的方程为y=-x+9,故质点在前6s内的位移为xdx+dx=x2+=6+3=9(m).答案:96.如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.解析:因为函数y=ex与函数y=lnx互为反函数,其图像关于直线y=x对称,又因为函数y=ex与直线y=e的交点坐标为(1,e),所以阴影部分的面积为2(e×1-exdx)=2e-2ex=2e-(2e-2)=2,由几何概型的概率计算公式,得所求的概率P==.答案:7.求抛物线y=-x2+4x-3及其在点A(1,0)和点B(3

4、,0)处的切线所围成图形的面积.解:由y′=-2x+4得在点A,B处切线的斜率分别为2和-2,则两直线方程分别为y=2x-2和y=-2x+6,由得两直线交点坐标为C(2,2),∴S=S△ABC-(-x2+4x-3)dx=×2×2-=2-=.8.已知抛物线y=x2-2x与直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为,求a的值.解:作出y=x2-2x的图像,如图所示.①当a<0时,S=(x2-2x)dx==-+a2=,∴(a+1)(a-2)2=0.∵a<0,∴a=-1.②当a=0时,不符合题意.③当a>0时,若0

5、(x2-2x)dx=-=a2-a3=,∴(a+1)(a-2)2=0.∵a>0,∴a=2.若a>2,不合题意,综上a=-1或2.二、综合能力提升1.由曲线y=sinx,y=cosx与直线x=0,x=所围成的平面图形(如下图中的阴影部分)的面积是(  )A.1B.C.D.2-2解析:选D S=(cosx-sinx)dx+(sinx-cosx)dx=(sinx+cosx)-(cosx+sinx)=(-1)-(1-)=2-2.2.椭圆+=1所围区域的面积为________.解析:由+=1,得y=±.又由椭圆的对称性知,椭圆的面积为S=4d

6、x=3dx.由y=,得x2+y2=16(y≥0).由定积分的几何意义知dx表示由直线x=0,x=4和曲线x2+y2=16(y≥0)及x轴所围成图形的面积,∴dx=×π×16=4π,∴S=3×4π=12π.答案:12π3.求由曲线xy=1及直线x=y,y=3所围成平面图形的面积.解:作出曲线xy=1,直线x=y,y=3的草图,所求面积为图中阴影部分的面积.求交点坐标:由得故A;由得或(舍去),故B(1,1);由得故C(3,3),故所求面积S=S1+S2=dx+(3-x)dx=(3x-lnx)+=4-ln3.4.函数f(x)=ax3+

7、bx2-3x,若f(x)为实数集R上的单调函数,且a≥-1,设点P的坐标为(b,a),试求出点P的轨迹所形成的图形的面积S.解:当a=0时,由f(x)在R上单调,知b=0.当a≠0时,f(x)在R上单调⇔f′(x)≥0恒成立或f′(x)≤0恒成立.∵f′(x)=3ax2+2bx-3,∴∴a≤-b2且a≥-1.因此满足条件的点P(b,a)在直角坐标平面xOy的轨迹所围成的图形是由曲线y=-x2与直线y=-1所围成的封闭图形.联立解得或如图,其面积S=dx==(3-1)-(-3+1)=4.

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