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1、第二节机动目录上页下页返回结束三、高阶偏导数及高阶全微分四、复合函数的偏导数和全微分偏导数与全微分第三章二、高阶偏导数及高阶全微分1.设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导机动目录上页下页返回结束数:类似可以定义更高阶的偏导数.例如，z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为z=f(x,y)关于x的n–1阶偏导数,再关于y的一阶机动目录上页下页返回结束偏导数为例5.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.机动目录上页下页返回结束的二阶偏导数及例如,二者不等机动目录
2、上页下页返回结束例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程机动目录上页下页返回结束则证明目录上页下页返回结束定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等证:令则则机动目录上页下页返回结束定理.令同样在点连续,得机动目录上页下页返回结束2.设有全微分对其再求全微分得以此类推…….。1.多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设
3、t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,四、复合函数的偏导数和全微分(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束若定理中说明:例如:易知:对复合函数偏导数连续可减弱为可微，但减弱为偏导数存在,机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.实际上f(u,v)在(0,0)亦不可微。例1.设求全导数解:推广若机动目录上页下页返回结束上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：例如例2.设解:机动目录上页下页返回结束又如,当它们都具有可微条件时,有注意:这里表示固定y对x求导,表示固定v对x求
4、导口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导与不同,机动目录上页下页返回结束再如即令其中两者的区别区别类似例3.解:机动目录上页下页返回结束注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与机动目录上页下页返回结束验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.练习1.设f具有连续偏导数,求2.设f具有连续偏导数,求为简便起见,引入记号例4.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束已知(当在二、三象限时,)例5.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则机动目录上页下页返回结束题目目录上页下页
5、返回结束已知注意利用已有公式机动目录上页下页返回结束同理可得题目目录上页下页返回结束2.多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束例1.例6.利用全微分形式不变性再解例2.解:所以机动目录上页下页返回结束内容小结1.复合函数求导的链式法则“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”例如,2.全微分形式不变性不论u,v是自变量还是因变量,机动目录上页下页返回结束备用题1.已知求解:由两边对x求导,得机动目录上页下页返回结束2.求在点处可微,且设函
6、数解:由题设(2001考研)机动目录上页下页返回结束
