第8章_矩阵特征值问题计算1.ppt

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1、5.7矩阵的正交三角化及应用本节介绍初等反射阵及平面旋转阵，矩阵正交约化，它们在矩阵计算中起着重要作用.5.7.1初等反射阵定义9设向量wRn且wTw=1，称矩阵H(w)=I-2wwT为初等反射阵(或称为豪斯霍尔德(Householder)变换).如果记w=(w1,w2,,wn)，则定理25设有初等反射阵H(w)=I-2wwT,其中wTw=1,则(1)H是对称矩阵,即HT=H.(2)H是正交矩阵,即H-1=H.(3)设A为对称矩阵,那么A1=H-1AH=HAH亦是对称矩阵.证明只证H的正交性,其它显然.设向量u≠0,则显然是一个初等反射阵.下面考察初等反射阵的几何意义.考虑以w为

2、法向量且过原点O的超平面S:wTx=0.设任意向量vRn,则v=x+y,其中xS,yS⊥.于是Hx=(I-2wwT)x=x-2wwTx=x.对于yS⊥,易知Hy=-y,从而对任意向量vRn,总有Hv=x-y=v′,其中v′为v关于平面的镜面反射(见图5-1).wvySxv′图5-1定理26设x,y为两个不相等的n维向量,

3、

4、x

5、

6、2=

7、

8、y

9、

10、2,则存在一个初等反射阵H,使Hx=y.证明令,则得到一个初等反射阵而且由

11、

12、x

13、

14、2=

15、

16、y

17、

18、2,有yTy=xTx,而数xTy=yTx,从而所以得Hx=x-(x-y)=y.容易说明,w是使Hx=y成立的唯一长度等于1的向量(不计符

19、号).定理27(约化定理)设x=(x1,x2,,xn)T≠0,则存在初等反射阵H,使Hx=-σe1,其中证明见书p217.算法6见书p218.5.7.2平面旋转阵设x,yR2,则变换是平面上向量的一个旋转变换，其中为正交矩阵.Rn中变换：y=Px，称为Rn中平面{xi,xj}的旋转变换(或称为吉文斯(Givens)变换)，P=P(i,j,θ)=P(i,j)称为平面旋转矩阵.其中x=(x1,x2,,xn)T,y=(y1,y2,,yn)T,使而显然，P(i,j,θ)具有性质：(1)P与单位阵I只是在(i,i),(i,j),(j,i),(j,j)位置元素不一样，其它相同.(2)P为

20、正交矩阵(P-1=PT).(3)P(i,j)A(左乘)只需计算第i行与第j行元素，即对A=(aij)m×n有其中，c=cosθ，s=sinθ.(4)AP(i,j)(右乘)只需计算第i列与第j列元素，即利用平面旋转变换，可使向量x中的指定元素变为零.定理28(约化定理)设x=(x1,,xi,,xj,,xn)T,其中xi,xj不全为零，则可选择平面旋转阵P(i,j,θ)，使其中证明取由利用矩阵乘法，显然有于是，由c,s的取法得5.7.3矩阵的QR分解下面讨论用正交矩阵来约化矩阵，可得到下述结果.设有设ARm×n且为非零矩阵，则存在初等反射矩阵H1,H2,,Hs使(1)第1步约化

21、：如果a1=0，取H1=I，即这一步不需要约化，不妨设a1≠0，于是可选取初等反射阵使于是其中(2)第k步约化：设已完成对A上述第1步第k-1步的约化，再进行第k步约化.即存在初等反射阵H1,H2,,Hk-1使其中这里,Rk为k-1阶上三角阵,不妨设ck≠0,否则这一步不需要约化(如果A列满秩,则ck≠0).于是,可选取初等反射阵使令第k步约化为令s=min(m-1,n),继续上述过程,最后有总结上述讨论给出下述结果.定理29(矩阵的正交约化定理)设ARm×n且A≠0,s=min(m-1,n),则存在初等反射阵H1,H2,,Hs使且计算量约为n2m-n3/3(当m≥n)次乘法

22、运算.(2)设ARn×n为非奇异矩阵,则A有分解定理30(矩阵的QR分解)其中R为n阶非奇异上三角阵.(1)设ARm×n且A的秩为n(m>n),则存在初等反射阵H1,H2,,Hn使A=QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角阵.且当R具有正对角元素时,分解唯一.证明(1)由定理29可得.(2)由设及定理29存在初等反射阵H1,H2,,Hn-1使记QT=Hn-1H2H1,则上式为QTA=R,即A=QR,其中Q为正交矩阵,R为上三角阵.唯一性,设有A=Q1R1=Q2R2,其中Q1,Q2为正交矩阵,R1,R2为非奇异上三角阵,且R1,R2具有正对角元素,则由假设,及对称正定矩阵ATA的

23、Cholesky分解的唯一性,则R1=R2.从而可得Q1=Q2.下面考虑平面旋转变换来约化矩阵.定理31(用吉文斯变换计算矩阵的QR分解)设ARn×n为非奇异矩阵,则证明见书p224-自看.(1)存在正交矩阵P1,P2,,Pn-1使(2)A有QR分解:A=QR.其中Q为正交阵,R为非奇异上三角阵.且当R对角元素都为正时,分解是唯一的.第8章矩阵特征问题的计算8.1引言8.2幂法及反幂法8.3豪斯霍尔德方法8.4QR方法8.1引言工程技术中有多种振动问题