第8章 矩阵特征值计算

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1、第八章矩阵特征值计算1特征值性质和估计工程实践中有许多种振动问题，如桥梁或建筑物的振动，机械机件的振动，飞机机翼的颤动等，这些问题的求解常常归纳为求矩阵的特征值问题。另外，一些稳定分析问题及相关问题也可以转化为求矩阵特征值与特征向量的问题。1.1特征值问题及性质设矩阵（或），特征值问题是：求和非零向量，使(1.1)其中是矩阵属于特征值的特征向量。的全体特征值组成的集合记为。求的特征值问题(1.1)等价于求的特征方程(1.2)的根。因为一般不能通过有限次运算准确求解的根，所以特征值问题的68数值方法只能是迭代法。反之，有

2、时为了求多项式的零点，可以把看成矩阵的特征多项式（除因子不计）。这是一个Hessenberg矩阵，可用方法求特征值，从而求出代数方程的根。矩阵特征值和特征向量的计算问题可分为两类：一类是求矩阵的全部特征值及其对应的向量；另一类是求部分特征值（一个或几个、按模最大或最小）及其对应的特征向量。本章介绍部分特征值和特征向量的幂法、内积法；求实对称矩阵全部特征值的雅可比法、Given方法和Householder方法；求任意矩阵全部特征值的QR算法。在第5章已给出特征值的一些重要性质，下面再补充一些基本性质。定理1设，则(1)设

3、为的特征值，则为68的特征值；(2)设是的特征值，是一多项式，则矩阵的特征值是。特别地，的特征值是。定理２(1)设可对角化，即存在非奇异矩阵使的充分必要条件是具有几个线性无关的特征向量。(2)如果有个不同的特征值，则对应的特征向量线性无关。定理３设为对称矩阵，则(1)的特征值均为实数。(2)有个线性无关的特征向量。(3)存在一个正交矩阵使68且为的特征值，而的列向量为对应于的特征向量。定理４设为对称矩阵（其特征值依次记为），则(1)（对任何非零向量）。(2)(1.3)记，称为矩阵的瑞利(Rayleigh)商。证明只证(

4、1),(2)留作习题。由于为实对称矩阵，可将对应的特征向量正交规范化，则有。设为中任一向量，则有，于是68从而(1)成立。结论(1)说明瑞利商必位于和之间。1．2特征值估计与扰动定义1设。令(1)；(2)集合。称复平面上以为圆心，以为半径的所有圆盘为的格什戈林(Gershgorin)圆盘定理５（格什戈林圆盘定理）(1)设，则的每一个特征值必属于下述某个圆盘之中(1。4)或者说，的特征值都在复平面上个圆盘的并集中。(2)如果有个圆盘组成一个连通的并集，且与其余个圆盘是严格分离，则中恰有的个特征值，其中重特征根按其重数重复

5、计算。68特别地，如果的一个圆盘是与其他圆盘分离的（即孤立圆盘），则中只包含的一个特征值。证明只给出(1)的证明。设为的任一特征值，是相应的特征向量，即。记，考虑的第个方程，即，或于是即。这说明，的每一个特征值必位于的一个圆盘中，并且相应的特征值一定位于第个圆盘中（其中是对应特征向量绝对值最大的分量的下标）。利用相似矩阵性质，有时可以获得的特征值进一步的估计，即选取非奇异对角矩阵68作相似变换。适当选取可使某些圆盘半径及连通性发生变化。例1估计矩阵特征值的范围。解的３个圆盘为由定理５，可知的３个特征值位于３个圆盘的并集

6、中，由于是孤立圆盘，所以内恰好包含的一个特征值（为实特征值），即。的其他两个特征值，包含在，的并集中。现选取对角矩阵68做相似变换的３个圆盘为显然，３个圆盘都是孤立圆盘，所以，每一个圆盘都包含的一个特征值（为实特征值）且有估计下面讨论当有扰动时产生的特征值扰动，即有微小变化时特征值的敏感性。定理６(Bauer-Fike定理)设是的一个特征值，且，则有68(1.5)其中为矩阵的范数，证明只要考虑。这时非奇异，设是对应于的特征向量，由左乘可得是非零向量。上式两边取范数有。而对角矩阵的范数为，所以有这就得到(1.5)式。这时

7、总有中的一个取到值。由定理６可知是特征值扰动的放大系数，但将对角化的相似变换矩阵不是唯一的，所以取的下确界(1.6)称为特征值问题的条件数．只要68不很大，矩阵微小扰动只带来特征值的微小扰动．但是难以计算，有时只对一个，用代替．特征值问题的条件数和解线性方程组时的矩阵条件数是两个不同的概念，对于一个矩阵，两者可能一大一小，例如矩阵，有，但解线性方程组的矩阵条件数．本章将介绍一些计算机上常用的两类方法，一类是幂法及反幂法（迭代法），另一类是正交相似交换的方法（变换法）．2幂法及反幂法2.1幂法把矩阵的按绝对值（模）最大的

8、特征值，叫做的主特征值。幂法是一种计算矩阵主特征值及对应特征向量的迭代方法，特别适用于大型稀疏矩阵．设是非亏损矩阵，即有个线性无关的特征向量，设其对应的特征值是，而且满足(2.1)现讨论求及的方法．68设是任一非零向量，则必存在个不全为零的数，使得（并假定）。按照迭代公式(2.2)由初始向量开始计算，就可得到一个向量列，并且(2.